Considere:a matriz quadrada  M=⎡⎣⎢205−110843⎤⎦⎥;𝑀=[2−18014503];B𝐵 a base de  R3𝑅3 formada pelos vetores das colunas da matriz  M;𝑀;u=(2,3,−4)u=(2,3,−4).Se   [u]B=[u]𝐵=   ⎡⎣⎢abc⎤⎦⎥[𝑎𝑏𝑐] ,  então  a=𝑎=  Em branco 1 Questão 6   ,  b=𝑏= Em branco 2 Questão 6    e  c=𝑐= Em branco 3 Questão 6

Considere:B={(−5,0),(1,4)}𝐵={(−5,0),(1,4)}  base de  R2𝑅2;u=(−17,12)u=(−17,12).Se   [u]B=[u]𝐵=   [ab][𝑎𝑏] ,  então  a=𝑎=  Em branco 1 Questão 3    e  b=𝑏= Em branco 2 Questão 3  .

Considere a matriz quadrada  A=[14k5].𝐴=[1𝑘45]. Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 2, então  Em branco 1 Questão 2  Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 1, então  Em branco 2 Questão 2  Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 2, então  Em branco 3 Questão 2  Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 1, então  Em branco 4 Questão 2  Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 0, então  Em branco 5 Questão 2  Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 1, então  Em branco 6 Questão 2  Se as colunas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 7 Questão 2  Se as linhas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 8 Questão 2

Considere a matriz M𝑀 abaixo e marque todas as alternativas corretas. M=⎡⎣⎢⎢⎢2011−1100783322−2−2−1−1117055⎤⎦⎥⎥⎥𝑀=[2−172−170182−10103−215103−215]Questão 7RespostaO espaço coluna de M𝑀 é subespaço de  R4𝑅4O espaço nulo de M𝑀 é subespaço de  R4𝑅4O espaço linha de M𝑀 é subespaço de  R4𝑅4O espaço linha de M𝑀 é subespaço de  R3𝑅3O espaço nulo de M𝑀 é subespaço de  R6𝑅6O espaço linha de M𝑀 é subespaço de  R6𝑅6O espaço coluna de M𝑀 é subespaço de  R3𝑅3O espaço coluna de M𝑀 é subespaço de  R6𝑅6O espaço nulo de M𝑀 é subespaço de  R3

Seja B={v1,v2,…,vn}𝐵={v1,v2,…,v𝑛}  uma base de um espaço vetorial V𝑉.Sabemos que qualquer vetor vv de V𝑉 é escrito de forma única como combinação linear dos vetores de  B𝐵, digamos v=a1v1+a2v2+⋯+anvnv=𝑎1v1+𝑎2v2+⋯+𝑎𝑛v𝑛 .Neste caso, dizemos que  a1,a2,…,an𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 são as coordenadas vv na base B𝐵 e usamos a notação  [v]B=[v]𝐵=   ⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮an⎤⎦⎥⎥⎥⎥[𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛] .Exercício: Considere  B={(1,1),(2,3)}𝐵={(1,1),(2,3)}  uma base de  V=R2𝑉=𝑅2  e  v∈Vv∈𝑉. Marque todas as opções corretas. Questão 1RespostaSe  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[1926][v]𝐵=[1926] Se  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[75][v]𝐵=[75] Se  v=v1=(1,1)v=v1=(1,1), então  [v]B=[10][v]𝐵=[10] Se  v=v2=(2,3)v=v2=(2,3), então  [v]B=[01][v]𝐵=[01] Se  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[57][v]𝐵=[57]

Ejercicio 1. Dada la matriz A =   13 8 8 −1 7 −2 −1 −2 7   . (a) Hallar una descomposici´on de Schur A = UT U∗ , con U unitaria y T triangular superior con los autovalores de la matriz A en la diagonal. (b) Descomponer a la matriz T hallada en el´ıtem anterior como suma de una matriz diagonal D y una matriz triangular superior S con ceros en la diagonal. Probar que S j = 0 para todo j ≥ 2.