Seja B={v1,v2,…,vn}𝐵={v1,v2,…,v𝑛}  uma base de um espaço vetorial V𝑉.Sabemos que qualquer vetor vv de V𝑉 é escrito de forma única como combinação linear dos vetores de  B𝐵, digamos v=a1v1+a2v2+⋯+anvnv=𝑎1v1+𝑎2v2+⋯+𝑎𝑛v𝑛 .Neste caso, dizemos que  a1,a2,…,an𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 são as coordenadas vv na base B𝐵 e usamos a notação  [v]B=[v]𝐵=   ⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮an⎤⎦⎥⎥⎥⎥[𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛] .Exercício: Considere  B={(1,1),(2,3)}𝐵={(1,1),(2,3)}  uma base de  V=R2𝑉=𝑅2  e  v∈Vv∈𝑉. Marque todas as opções corretas. Questão 1RespostaSe  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[1926][v]𝐵=[1926] Se  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[75][v]𝐵=[75] Se  v=v1=(1,1)v=v1=(1,1), então  [v]B=[10][v]𝐵=[10] Se  v=v2=(2,3)v=v2=(2,3), então  [v]B=[01][v]𝐵=[01] Se  v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26)v=5(1,1)+7(2,3)=(19,26), então  [v]B=[57][v]𝐵=[57]

Vamos analisar cada uma das opções fornecidas:

1. Se $v = 5(1,1) + 7(2,3) = (19,26)$, então $[v]_B = [19,26]$.

   • Esta afirmação está incorreta. As coordenadas de $v$ na base $B$ são os coeficientes da combinação linear dos vetores da base. Portanto, $[v]_B$ deve ser $[5,7]$.

2. Se $v = 5(1,1) + 7(2,3) = (19,26)$, então $[v]_B = [7,5]$.

   • Esta afirmação está incorreta. As coordenadas de $v$ na base $B$ são $[5,7]$, não $[7,5]$.

3. Se $v = v_1 = (1,1)$, então $[v]_B = [1,0]$.

   • Esta afirmação está correta. O vetor $v_1$ é o primeiro vetor da base $B$, então suas coordenadas na base $B$ são $[1,0]$.

4. Se $v = v_2 = (2,3)$, então $[v]_B = [0,1]$.

   • Esta afirmação está correta. O vetor $v_2$ é o segundo vetor da base $B$, então suas coordenadas na base $B$ são $[0,1]$.

5. Se $v = 5(1,1) + 7(2,3) = (19,26)$, então $[v]_B = [5,7]$.

   • Esta afirmação está correta. As coordenadas de $v$ na base $B$ são os coeficientes $5$ e $7$ da combinação linear dos vetores da base.

Portanto, as opções corretas são:

• Se $v = v_1 = (1,1)$, então $[v]_B = [1,0]$.
• Se $v = v_2 = (2,3)$, então $[v]_B = [0,1]$.
• Se $v = 5(1,1) + 7(2,3) = (19,26)$, então $[v]_B = [5,7]$.