Vamos analisar a matriz $ A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 4 & 5 \end{pmatrix} $. 1. Se o espaço linha de $ A $ tem dimensão 2, então as linhas de $ A $ são linearmente independentes. Isso significa que a matriz $ A $ é de posto 2. Para que isso ocorra, o determinante de $ A $ deve ser diferente de zero. Calculando o determinante: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot 5 - 4 \cdot k = 5 - 4k \] Para que o determinante seja diferente de zero: \[ 5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço linha de $ A $ tem dimensão 2, então $ k \neq \frac{5}{4} $. 2. Se o espaço linha de $ A $ tem dimensão 1, então as linhas de $ A $ são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante de $ A $ é zero: \[ 5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço linha de $ A $ tem dimensão 1, então $ k = \frac{5}{4} $. 3. Se o espaço coluna de $ A $ tem dimensão 2, então as colunas de $ A $ são linearmente independentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: \[ k \neq \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço coluna de $ A $ tem dimensão 2, então $ k \neq \frac{5}{4} $. 4. Se o espaço coluna de $ A $ tem dimensão 1, então as colunas de $ A $ são linearmente dependentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: \[ k = \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço coluna de $ A $ tem dimensão 1, então $ k = \frac{5}{4} $. 5. Se o espaço nulo de $ A $ tem dimensão 0, então $ A $ é injetora, o que significa que o posto de $ A $ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: \[ k \neq \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço nulo de $ A $ tem dimensão 0, então $ k \neq \frac{5}{4} $. 6. Se o espaço nulo de $ A $ tem dimensão 1, então $ A $ não é injetora, o que significa que o posto de $ A $ é 1. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: \[ k = \frac{5}{4} \] Portanto, se o espaço nulo de $ A $ tem dimensão 1, então $ k = \frac{5}{4} $. 7. Se as colunas de $ A $ formam uma base de $ \mathbb{R}^2 $, então elas são linearmente independentes, o que significa que o posto de $ A $ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: \[ k \neq \frac{5}{4} \] Portanto, se as colunas de $ A $ formam uma base de $ \mathbb{R}^2 $, então $ k \neq \frac{5}{4} $. 8. Se as linhas de $ A $ formam uma base de $ \mathbb{R}^2 $, então elas são linearmente independentes, o que significa que o posto de $ A $ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: \[ k \neq \frac{5}{4} \] Portanto, se as linhas de $ A $ formam uma base de $ \mathbb{R}^2 $, então $ k \neq \frac{5}{4} $.

Considere a matriz quadrada A=[14k5].𝐴=[1𝑘45]. Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 2, então Em branco 1 Questão 2 Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 2 Questão 2 Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 2, então Em branco 3 Questão 2 Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 4 Questão 2 Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 0, então Em branco 5 Questão 2 Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 6 Questão 2 Se as colunas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 7 Questão 2 Se as linhas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 8 Questão 2

Question

Considere a matriz quadrada A=[14k5].𝐴=[1𝑘45]. Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 2, então Em branco 1 Questão 2 Se o espaço linha de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 2 Questão 2 Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 2, então Em branco 3 Questão 2 Se o espaço coluna de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 4 Questão 2 Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 0, então Em branco 5 Questão 2 Se o espaço nulo de A𝐴 tem dimensão 1, então Em branco 6 Questão 2 Se as colunas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 7 Questão 2 Se as linhas de A𝐴 formam uma base de R2𝑅2, então Em branco 8 Questão 2

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Solution 1

Vamos analisar a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .

Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então as linhas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que a matriz $A$ é de posto 2. Para que isso ocorra, o determinante de $A$ deve ser diferente de zero. Calculando o determinante: $\text{det}(A) = 1 \cdot 5 - 4 \cdot k = 5 - 4k$ Para que o determinante seja diferente de zero: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então as linhas de $A$ são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante de $A$ é zero: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então as colunas de $A$ são linearmente independentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então as colunas de $A$ são linearmente dependentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: $k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $A$ é injetora, o que significa que o posto de $A$ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $A$ não é injetora, o que significa que o posto de $A$ é 1. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: $k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então elas são linearmente independentes, o que significa que o posto de $A$ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então elas são linearmente independentes, o que significa que o posto de $A$ é 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .

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Solution 2

Vamos analisar a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .

Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então as linhas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de $A$ é diferente de zero. Calculando o determinante: $\text{det}(A) = 1 \cdot 5 - 4 \cdot k = 5 - 4k$ Para que o determinante seja diferente de zero: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Em branco 1: $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então as linhas de $A$ são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante de $A$ é zero. Calculando o determinante: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$ Em branco 2: $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então as colunas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de $A$ é diferente de zero. Calculando o determinante: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Em branco 3: $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então as colunas de $A$ são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante de $A$ é zero. Calculando o determinante: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$ Em branco 4: $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $A$ é injetora, ou seja, o determinante de $A$ é diferente de zero. Calculando o determinante: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Em branco 5: $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $A$ não é injetora, ou seja, o determinante de $A$ é zero. Calculando o determinante: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$ Em branco 6: $k = \frac{5}{4}$ .
Se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então as colunas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de $A$ é diferente de zero. Calculando o determinante: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Em branco 7: $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então as linhas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de $A$ é diferente de zero. Calculando o determinante: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Em branco 8: $k \neq \frac{5}{4}$ .

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Solution 3

Vamos analisar a matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .

Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então as linhas de $A$ são linearmente independentes. Isso significa que a matriz $A$ deve ter posto 2. Para verificar isso, calculamos o determinante de $A$ : $\text{det}(A) = 1 \cdot 5 - 4 \cdot k = 5 - 4k$ Para que o determinante seja diferente de zero (indicando que as linhas são linearmente independentes), precisamos que: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então as linhas de $A$ são linearmente dependentes. Isso significa que o determinante de $A$ deve ser zero: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então as colunas de $A$ são linearmente independentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então as colunas de $A$ são linearmente dependentes. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: $k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $A$ é injetora, o que significa que $A$ tem posto 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $A$ não é injetora, o que significa que $A$ tem posto 1. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 1, então: $k = \frac{5}{4}$ Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então as colunas são linearmente independentes, o que significa que $A$ tem posto 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então as linhas são linearmente independentes, o que significa que $A$ tem posto 2. Isso é equivalente ao caso do espaço linha ter dimensão 2, então: $k \neq \frac{5}{4}$ Portanto, se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .

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Solution 4

Claro, vamos resolver passo a passo.

Dada a matriz quadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ :

Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então:
- Para que o espaço linha tenha dimensão 2, as linhas da matriz $A$ devem ser linearmente independentes.
- As linhas são $(1, k)$ e $(4, 5)$ .
- Para verificar a independência linear, calculamos o determinante de $A$ : $\text{det}(A) = 1 \cdot 5 - k \cdot 4 = 5 - 4k$
- Para que as linhas sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então:
- Para que o espaço linha tenha dimensão 1, as linhas da matriz $A$ devem ser linearmente dependentes.
- Isso ocorre quando o determinante é zero: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço linha de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então:
- Para que o espaço coluna tenha dimensão 2, as colunas da matriz $A$ devem ser linearmente independentes.
- As colunas são $(1, 4)$ e $(k, 5)$ .
- Novamente, verificamos a independência linear pelo determinante: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 2, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então:
- Para que o espaço coluna tenha dimensão 1, as colunas da matriz $A$ devem ser linearmente dependentes.
- Isso ocorre quando o determinante é zero: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço coluna de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então:
- O espaço nulo de $A$ tem dimensão 0 se $A$ é invertível, ou seja, se o determinante é diferente de zero: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 0, então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então:
- O espaço nulo de $A$ tem dimensão 1 se $A$ não é invertível, ou seja, se o determinante é zero: $5 - 4k = 0 \implies k = \frac{5}{4}$
- Portanto, se o espaço nulo de $A$ tem dimensão 1, então $k = \frac{5}{4}$ .
Se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então:
- As colunas formam uma base de $\mathbb{R}^2$ se são linearmente independentes: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$
- Portanto, se as colunas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .
Se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então:
- As linhas formam uma base de $\mathbb{R}^2$ se são linearmente independentes: $5 - 4k \neq 0 \implies k \neq \frac{5}{4}$
- Portanto, se as linhas de $A$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ , então $k \neq \frac{5}{4}$ .

Resumindo:

$k \neq \frac{5}{4}$
$k = \frac{5}{4}$
$k \neq \frac{5}{4}$
$k = \frac{5}{4}$
$k \neq \frac{5}{4}$
$k = \frac{5}{4}$
$k \neq \frac{5}{4}$
$k \neq \frac{5}{4}$

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