Ejercicio 1. Dada la matriz A = 13 8 8 −1 7 −2 −1 −2 7 . (a) Hallar una descomposici´on de Schur A = UT U∗ , con U unitaria y T triangular superior con los autovalores de la matriz A en la diagonal. (b) Descomponer a la matriz T hallada en el´ıtem anterior como suma de una matriz diagonal D y una matriz triangular superior S con ceros en la diagonal. Probar que S j = 0 para todo j ≥ 2.
Question
Ejercicio 1. Dada la matriz A = 13 8 8 −1 7 −2 −1 −2 7 . (a) Hallar una descomposici´on de Schur A = UT U∗ , con U unitaria y T triangular superior con los autovalores de la matriz A en la diagonal. (b) Descomponer a la matriz T hallada en el´ıtem anterior como suma de una matriz diagonal D y una matriz triangular superior S con ceros en la diagonal. Probar que S j = 0 para todo j ≥ 2.
Solution
Para resolver este problema, debemos seguir los siguientes pasos:
(a) Primero, necesitamos encontrar los autovalores de la matriz A. Para hacer esto, resolvemos la ecuación característica det(A - λI) = 0, donde I es la matriz identidad y λ son los autovalores. Resolviendo esta ecuación obtenemos los autovalores λ1 = 13, λ2 = 7, λ3 = 7.
Luego, formamos la matriz T colocando los autovalores en la diagonal, es decir, T = 13 0 0 0 7 0 0 0 7 .
Para encontrar la matriz U, necesitamos encontrar los autovectores correspondientes a cada autovalor. Resolviendo (A - λI)v = 0 para cada λ, obtenemos los autovectores v1, v2, v3. Normalizamos estos autovectores para que tengan longitud 1, y luego formamos la matriz U con estos autovectores como columnas.
(b) Para descomponer la matriz T como suma de una matriz diagonal D y una matriz triangular superior S con ceros en la diagonal, simplemente tomamos D como la matriz con los autovalores en la diagonal y S como la matriz T con los elementos de la diagonal reemplazados por ceros.
Para probar que S^j = 0 para todo j ≥ 2, notamos que S es una matriz nilpotente de índice 2, es decir, cualquier potencia de S mayor o igual a 2 es la matriz cero. Esto se debe a que todos los elementos de la diagonal de S son ceros, y por lo tanto, cuando multiplicamos S por sí misma, todos los elementos de la matriz resultante son ceros.
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