Quest˜ao 3 (Todas as respostas devem ser justificadas.) (1,5):Seja T um operador linear em R3 definido por T pxq “ Ax tal queT puq “ 4u, T pvq “ ´2v e T pwq “ 0,onde u, v e w s˜ao vetores n˜ao nulos.(a) Determine os autovalores de A.(b) A matriz A ´e diagonaliz´avel?(c) A matriz A ´e invert´ıvel?
Question
Quest˜ao 3 (Todas as respostas devem ser justificadas.) (1,5):Seja T um operador linear em R3 definido por T pxq “ Ax tal queT puq “ 4u, T pvq “ ´2v e T pwq “ 0,onde u, v e w s˜ao vetores n˜ao nulos.(a) Determine os autovalores de A.(b) A matriz A ´e diagonaliz´avel?(c) A matriz A ´e invert´ıvel?
Solution
(a) Os autovalores de uma matriz A são os valores λ que satisfazem a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. No entanto, a matriz A não foi fornecida explicitamente na questão. No entanto, podemos inferir os autovalores a partir das transformações dadas. T(u) = 4u implica que 4 é um autovalor, T(v) = -2v implica que -2 é um autovalor e T(w) = 0 implica que 0 é um autovalor.
(b) Uma matriz é diagonalizável se e somente se ela tem n autovetores linearmente independentes, onde n é a dimensão da matriz. Neste caso, a matriz A é de dimensão 3 (já que opera em R3). Como temos três autovalores diferentes, podemos inferir que A tem três autovetores linearmente independentes (assumindo que u, v e w são linearmente independentes). Portanto, a matriz A é diagonalizável.
(c) Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. O determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores. Neste caso, um dos autovalores de A é zero, então o determinante de A é zero. Portanto, a matriz A não é invertível.
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