Carlos tiene un velocímetro en su bicicleta que se dañó al tener una caída. En la pantalla solo seobserva la velocidad a la que se desplaza más no la distancia. Para determinar la distancia querecorre desde las 7 hasta las 9 a.m. apunta las lecturas de velocidad (en Km/h) cada 15 minutosHoras a partir de las 7 a.m. 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2Velocidad 12 15 14 10 13 11 11 15 10Plantee la distancia recorrida como una integral definida y use la regla del Trapecio compuestapara aproximar la distancia recorrida por Carlos.SoluciónRespuesta:
Question
Carlos tiene un velocímetro en su bicicleta que se dañó al tener una caída. En la pantalla solo seobserva la velocidad a la que se desplaza más no la distancia. Para determinar la distancia querecorre desde las 7 hasta las 9 a.m. apunta las lecturas de velocidad (en Km/h) cada 15 minutosHoras a partir de las 7 a.m. 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2Velocidad 12 15 14 10 13 11 11 15 10Plantee la distancia recorrida como una integral definida y use la regla del Trapecio compuestapara aproximar la distancia recorrida por Carlos.SoluciónRespuesta:
Solution
Para calcular la distancia recorrida por Carlos, necesitamos integrar la velocidad con respecto al tiempo. La integral de la velocidad es la distancia. En este caso, como la velocidad varía, necesitamos usar una integral definida para calcular la distancia total recorrida.
La integral definida que necesitamos calcular es la siguiente:
∫ (desde t=0 hasta t=2) v(t) dt
Donde v(t) es la velocidad a la hora t. En este caso, v(t) es una función por partes que toma los valores dados en la tabla en cada intervalo de 15 minutos.
Para aproximar esta integral, podemos usar la regla del trapecio compuesta. Esta regla aproxima la integral dividiendo el intervalo de integración en subintervalos más pequeños, y aproximando la integral en cada subintervalo con la integral de una función lineal que coincide con la función en los extremos del subintervalo. La "altura" de cada trapecio es la velocidad promedio en cada intervalo de 15 minutos, y la "base" es el tiempo transcurrido, que es 0.25 horas.
La fórmula para la regla del trapecio compuesta es la siguiente:
h/2 * (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n))
Donde h es la longitud de los subintervalos (en este caso, 0.25 horas), y f(x_i) son los valores de la velocidad en los puntos x_i.
Si sustituimos los valores de la tabla en esta fórmula, obtenemos la distancia total recorrida por Carlos en el intervalo de tiempo dado.
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