Joãozinho fez todas as divisões possíveis com dois números diferentes pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Por exemplo, com os números 2 e 5, ele fez as seguintes divisões: (obteve como resultado 0,4) e (obteve como resultado 2,5).a) Em quantas divisões Joãozinho obteve como resultado um número inteiro?b) Em quantas divisões Joãozinho obteve como resultado um número maior do que 0,5?c) Quantos resultados diferentes foram obtidos por Joãozinho?
Question
Joãozinho fez todas as divisões possíveis com dois números diferentes pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Por exemplo, com os números 2 e 5, ele fez as seguintes divisões: (obteve como resultado 0,4) e (obteve como resultado 2,5).a) Em quantas divisões Joãozinho obteve como resultado um número inteiro?b) Em quantas divisões Joãozinho obteve como resultado um número maior do que 0,5?c) Quantos resultados diferentes foram obtidos por Joãozinho?
Solution
a) Joãozinho pode obter um número inteiro quando o número maior é dividido pelo número menor. Isso é possível quando o número maior é um múltiplo do número menor. Os pares possíveis são (2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (5,1), (6,1), (6,2), (6,3), (7,1), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3). Portanto, Joãozinho obteve um número inteiro em 14 divisões.
b) Joãozinho obterá um número maior que 0,5 quando o número maior for dividido pelo número menor. Isso ocorre em todos os casos, exceto quando 1 é dividido por qualquer outro número. Portanto, existem 9 opções para o número maior (2 a 9) e 8 opções para o número menor (1 a 8, excluindo o número maior já escolhido), resultando em 72 possibilidades. No entanto, precisamos subtrair os 8 casos em que 1 é dividido por um número maior (2 a 9), resultando em 64 divisões.
c) Para determinar quantos resultados diferentes foram obtidos por Joãozinho, precisamos considerar todas as divisões possíveis. Existem 9 opções para o número maior (2 a 9) e 8 opções para o número menor (1 a 8, excluindo o número maior já escolhido), resultando em 72 divisões possíveis. No entanto, muitas dessas divisões resultarão no mesmo quociente (por exemplo, 2/1 e 4/2 ambos resultam em 2). Portanto, precisamos considerar apenas os quocientes únicos. Existem 36 quocientes únicos possíveis: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 2/3, 2/5, 2/7, 2/9, 3/4, 3/5, 3/7, 3/8, 4/5, 4/7, 4/9, 5/6, 5/7, 5/8, 6/7, 6/9, 7/8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1.5, 2.5. Portanto, Joãozinho obteve 36 resultados diferentes.
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