Seja X o subconjunto dos números inteiros dado por {0,1,2,3,4,5}. Quantos pares distintos (A,B) de subconjuntos A e B de X existem tais que AC – B = {0,1}, em que AC denota o complementar de A em X? a) 16 b) 14 c) 10 d) 12 e) 18
Question
Seja X o subconjunto dos números inteiros dado por {0,1,2,3,4,5}. Quantos pares distintos (A,B) de subconjuntos A e B de X existem tais que AC – B = {0,1}, em que AC denota o complementar de A em X? a) 16 b) 14 c) 10 d) 12 e) 18
Solution
Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa o complementar de um conjunto e a operação de subtração de conjuntos.
O complementar de um conjunto A em relação a um conjunto X (denotado por AC) é o conjunto de todos os elementos em X que não estão em A.
A subtração de conjuntos (denotada por -) é a operação que retorna um conjunto que contém todos os elementos do primeiro conjunto que não estão no segundo conjunto.
Dado que AC - B = {0,1}, isso significa que os elementos 0 e 1 são os únicos elementos em X que não estão em A mas estão em B.
Vamos considerar os possíveis subconjuntos de X:
X = {0,1,2,3,4,5}
Os possíveis subconjuntos de X são: {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {0,4}, {0,5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {0,1,2}, {0,1,3}, {0,1,4}, {0,1,5}, {0,2,3}, {0,2,4}, {0,2,5}, {0,3,4}, {0,3,5}, {0,4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {0,1,2,3}, {0,1,2,4}, {0,1,2,5}, {0,1,3,4}, {0,1,3,5}, {0,1,4,5}, {0,2,3,4}, {0,2,3,5}, {0,2,4,5}, {0,3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {0,1,2,3,4}, {0,1,2,3,5}, {0,1,2,4,5}, {0,1,3,4,5}, {0,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {0,1,2,3,4,5}.
Agora, precisamos encontrar os pares (A,B) tais que AC - B = {0,1}. Isso significa que A deve conter todos os elementos de X exceto 0 e 1, e B deve conter todos os elementos de X. Portanto, os possíveis pares (A,B) são: ({2,3,4,5}, {0,1,2,3,4,5}), ({2,3,4}, {0,1,2,3,4}), ({2,3,5}, {0,1,2,3,5}), ({2,4,5}, {0,1,2,4,5}), ({3,4,5}, {0,1,3,4,5}), ({2,3}, {0,1,2,3}), ({2,4}, {0,1,2,4}), ({2,5}, {0,1,2,5}), ({3,4}, {0,1,3,4}), ({3,5}, {0,1,3,5}), ({4,5}, {0,1,4,5}), ({2}, {0,1,2}), ({3}, {0,1,3}), ({4}, {0,1,4}), ({5}, {0,1,5}).
Portanto, existem 14 pares distintos (A,B) de subconjuntos A e B de X tais que AC - B = {0,1}.
Portanto, a resposta correta é b) 14.
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