log 5​ (x−4)+log 5​ (2x−5)=1

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

Dada la ecuación: $\log_5 (x-4) + \log_5 (2x-5) = 1$

1. Utilizamos la propiedad de los logaritmos que dice que la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto de los argumentos: $\log_5 \left( (x-4)(2x-5) \right) = 1$

2. Ahora, para eliminar el logaritmo, utilizamos la definición del logaritmo. Si $\log_b (a) = c$, entonces $b^c = a$. En este caso, $b = 5$ y $c = 1$: $5^1 = (x-4)(2x-5)$

3. Simplificamos la ecuación: $5 = (x-4)(2x-5)$

4. Expandimos el producto en el lado derecho: $5 = 2x^2 - 5x - 8x + 20$ $5 = 2x^2 - 13x + 20$

5. Restamos 5 de ambos lados para igualar la ecuación a cero: $0 = 2x^2 - 13x + 15$

6. Ahora resolvemos la ecuación cuadrática. Podemos usar la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, donde $a = 2$, $b = -13$, y $c = 15$: $x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$ $x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{4}$ $x = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{4}$ $x = \frac{13 \pm 7}{4}$

7. Esto nos da dos soluciones: $x = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$ $x = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

8. Verificamos ambas soluciones en la ecuación original para asegurarnos de que no violen las restricciones de los logaritmos (los argumentos deben ser positivos):

   • Para $x = 5$: $\log_5 (5-4) + \log_5 (2(5)-5) = \log_5 (1) + \log_5 (5) = 0 + 1 = 1$ Esta solución es válida.

   • Para $x = \frac{3}{2}$: $\log_5 \left(\frac{3}{2}-4\right) + \log_5 \left(2\left(\frac{3}{2}\right)-5\right) = \log_5 \left(\frac{3}{2}-4\right) + \log_5 \left(3-5\right)$ $= \log_5 \left(-\frac{5}{2}\right) + \log_5 (-2)$ Los logaritmos de números negativos no están definidos en los números reales, por lo que esta solución no es válida.

Por lo tanto, la única solución válida es: $x = 5$