log 4​ (x 2 −5x−8)=2

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

Dada la ecuación:

$\log_4 (x^2 - 5x - 8) = 2$

1. Primero, recordemos que si $\log_b (a) = c$, entonces $b^c = a$. Aplicando esto a nuestra ecuación:

$4^2 = x^2 - 5x - 8$

2. Calculamos $4^2$:

$16 = x^2 - 5x - 8$

3. Ahora, trasladamos todos los términos al mismo lado de la ecuación para formar una ecuación cuadrática:

$x^2 - 5x - 8 - 16 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

4. Factorizamos la ecuación cuadrática. Buscamos dos números que multiplicados den $-24$ y sumados den $-5$:

$(x - 8)(x + 3) = 0$

5. Igualamos cada factor a cero y resolvemos para $x$:

$x - 8 = 0 \quad \text{o} \quad x + 3 = 0$

$x = 8 \quad \text{o} \quad x = -3$

6. Verificamos que las soluciones sean válidas en el contexto del logaritmo. El argumento del logaritmo debe ser positivo:

Para $x = 8$:

$x^2 - 5x - 8 = 8^2 - 5(8) - 8 = 64 - 40 - 8 = 16$

El argumento es positivo.

Para $x = -3$:

$x^2 - 5x - 8 = (-3)^2 - 5(-3) - 8 = 9 + 15 - 8 = 16$

El argumento también es positivo.

Por lo tanto, las soluciones válidas son:

$x = 8 \quad \text{y} \quad x = -3$