How many integers between 0 and 9999999 (up to 7 digits) contain only the digits 0,1,2,3,7,8 and 9?

Para resolver esta pregunta, sigamos los siguientes pasos:

1. Identificar los dígitos permitidos: Los dígitos permitidos son 0, 1, 2, 3, 7, 8 y 9. Esto nos da un total de 7 dígitos diferentes.

2. Considerar la longitud de los números: Los números pueden tener entre 1 y 7 dígitos.

3. Calcular la cantidad de números para cada longitud:

   • Para números de 1 dígito: Hay 6 opciones (1, 2, 3, 7, 8, 9). No se incluye el 0 porque no puede ser el único dígito.
   • Para números de 2 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones (1, 2, 3, 7, 8, 9) y el segundo dígito tiene 7 opciones (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9). Entonces, hay $6 \times 7$ números de 2 dígitos.
   • Para números de 3 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones y los otros dos dígitos tienen 7 opciones cada uno. Entonces, hay $6 \times 7 \times 7$ números de 3 dígitos.
   • Para números de 4 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones y los otros tres dígitos tienen 7 opciones cada uno. Entonces, hay $6 \times 7 \times 7 \times 7$ números de 4 dígitos.
   • Para números de 5 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones y los otros cuatro dígitos tienen 7 opciones cada uno. Entonces, hay $6 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$ números de 5 dígitos.
   • Para números de 6 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones y los otros cinco dígitos tienen 7 opciones cada uno. Entonces, hay $6 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$ números de 6 dígitos.
   • Para números de 7 dígitos: El primer dígito tiene 6 opciones y los otros seis dígitos tienen 7 opciones cada uno. Entonces, hay $6 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$ números de 7 dígitos.

4. Sumar todas las cantidades: $6 + 6 \times 7 + 6 \times 7^2 + 6 \times 7^3 + 6 \times 7^4 + 6 \times 7^5 + 6 \times 7^6$

5. Calcular cada término:

   • $6 = 6$
   • $6 \times 7 = 42$
   • $6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294$
   • $6 \times 7^3 = 6 \times 343 = 2058$
   • $6 \times 7^4 = 6 \times 2401 = 14406$
   • $6 \times 7^5 = 6 \times 16807 = 100842$
   • $6 \times 7^6 = 6 \times 117649 = 705894$

6. Sumar todos los resultados: $6 + 42 + 294 + 2058 + 14406 + 100842 + 705894 = 823542$

Por lo tanto, hay 823542 números enteros entre 0 y 9999999 que contienen solo los dígitos 0, 1, 2, 3, 7, 8 y 9.