How many integers between 1000 and 9999 (4 digits), contain only the digits 1,2,3,4,5,6 and 7, and no digit appears twice?

Para resolver este problema, debemos contar cuántos números de 4 dígitos entre 1000 y 9999 pueden formarse utilizando solo los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, sin repetir ningún dígito.

1. Identificar los dígitos disponibles: Los dígitos disponibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

2. Determinar la cantidad de dígitos a usar: Necesitamos formar números de 4 dígitos.

3. Seleccionar 4 dígitos de los 7 disponibles: La cantidad de formas de seleccionar 4 dígitos de un conjunto de 7 es una combinación de 7 elementos tomados de 4 en 4. $\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = 35$

4. Permutar los 4 dígitos seleccionados: Cada conjunto de 4 dígitos seleccionados puede ser permutado de todas las maneras posibles. La cantidad de permutaciones de 4 dígitos es 4!. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

5. Calcular el total de números posibles: Multiplicamos el número de combinaciones por el número de permutaciones. $35 \times 24 = 840$

Por lo tanto, hay 840 números de 4 dígitos entre 1000 y 9999 que contienen solo los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, sin repetir ningún dígito.