How many integers between 100 and 999 (3 digits), contain only the digits 2,3,4,5,6,7 and 8, and no digit appears twice?

Para resolver esta pregunta, sigamos estos pasos:

1. Identificar los dígitos permitidos: Los dígitos permitidos son 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

2. Determinar la cantidad de dígitos disponibles: Hay 7 dígitos disponibles.

3. Seleccionar los dígitos para formar números de 3 dígitos: Necesitamos elegir 3 dígitos de los 7 disponibles, y no se permite la repetición de dígitos.

4. Calcular las combinaciones posibles: Primero, seleccionamos 3 dígitos de los 7 disponibles. Esto se puede hacer de $\binom{7}{3}$ maneras.

$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

5. Calcular las permutaciones de cada combinación: Cada conjunto de 3 dígitos puede ser permutado de $3!$ maneras.

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

6. Multiplicar las combinaciones por las permutaciones: El número total de números de 3 dígitos que se pueden formar es el producto de las combinaciones y las permutaciones.

$35 \times 6 = 210$

Por lo tanto, hay 210 números de 3 dígitos entre 100 y 999 que contienen solo los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, y en los que no se repite ningún dígito.