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Uma fábrica possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2.000 peças e a máquina N produz 3.000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, das 2.000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 120 peças, das 3.000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa.Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M?A)3/100B)1/25C)1/3D)3/7E)2/3

Question

Uma fábrica possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2.000 peças e a máquina N produz 3.000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, das 2.000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 120 peças, das 3.000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa.Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M?A)3/100B)1/25C)1/3D)3/7E)2/3

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Solution

Para resolver essa questão, precisamos usar o Teorema de Bayes, que é uma forma de calcular probabilidades condicionais de forma reversa.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma peça ser produzida por cada máquina:

  • A máquina M produz 2000 peças por dia e a máquina N produz 3000 peças por dia. Portanto, o total de peças produzidas por dia é 2000 + 3000 = 5000 peças.

  • A probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina M é 2000/5000 = 0,4 (ou 40%) e pela máquina N é 3000/5000 = 0,6 (ou 60%).

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça produzida por cada máquina ser defeituosa:

  • A máquina M produz 60 peças defeituosas de um total de 2000 peças, então a probabilidade é 60/2000 = 0,03 (ou 3%).

  • A máquina N produz 120 peças defeituosas de um total de 3000 peças, então a probabilidade é 120/3000 = 0,04 (ou 4%).

Agora, podemos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina M:

P(M|D) = [P(D|M) * P(M)] / [P(D|M) * P(M) + P(D|N) * P(N)]

Substituindo os valores que temos:

P(M|D) = [0,03 * 0,4] / [0,03 * 0,4 + 0,04 * 0,6] = 0,012 / (0,012 + 0,024) = 0,012 / 0,036 = 1/3

Portanto, a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M é 1/3, ou seja, a alternativa C) é a correta.

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