ogando-se 9 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter:a) Exatamente 3 caras.b) Menos de duas caras.4) Uma máquina produziu em lote com 80 peças das quais 15 são defeituosas.Retirando-se, com reposição, uma amostra com 10 peças, determine aprobabilidade de se encontrar exatamente 4 peças defeituosas.
Question
ogando-se 9 moedas para o ar, determine a probabilidade de se obter:a) Exatamente 3 caras.b) Menos de duas caras.4) Uma máquina produziu em lote com 80 peças das quais 15 são defeituosas.Retirando-se, com reposição, uma amostra com 10 peças, determine aprobabilidade de se encontrar exatamente 4 peças defeituosas.
Solution
a) A probabilidade de obter exatamente 3 caras ao lançar 9 moedas é dada pela distribuição binomial. A fórmula para a distribuição binomial é:
P(X=k) = C(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k))
onde:
- n é o número de tentativas (neste caso, 9 moedas)
- k é o número de sucessos desejados (neste caso, 3 caras)
- p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (neste caso, 0.5 para uma moeda justa)
- C(n, k) é o número de combinações de n itens tomados k a k.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
P(X=3) = C(9, 3) * (0.5^3) * ((1-0.5)^(9-3))
Calculando isso, obtemos a probabilidade desejada.
b) A probabilidade de obter menos de duas caras é a soma das probabilidades de obter 0 ou 1 cara. Usando a mesma fórmula da distribuição binomial, calculamos P(X=0) e P(X=1) e somamos os resultados.
- A probabilidade de encontrar exatamente 4 peças defeituosas em uma amostra de 10 peças é novamente dada pela distribuição binomial. Neste caso, n=10, k=4, e p=15/80 (a probabilidade de uma peça ser defeituosa). Substituímos esses valores na fórmula da distribuição binomial para obter a probabilidade desejada.
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