What is the equation of the normal to the curve:𝑦=(3𝑥+2)2y=(3x+2) 2 y, equals, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis, squaredat the point where 𝑥=2x=2x, equals, 2?

Claro, aquí tienes la solución paso a paso:

1. Encuentra la derivada de la función: La función dada es $y = (3x + 2)^2$. Para encontrar la derivada, utilizamos la regla de la cadena.

   Sea $u = 3x + 2$, entonces $y = u^2$.

   La derivada de $y$ con respecto a $u$ es $\frac{dy}{du} = 2u$.

   La derivada de $u$ con respecto a $x$ es $\frac{du}{dx} = 3$.

   Usando la regla de la cadena, tenemos: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3 = 6u.$

   Sustituyendo $u = 3x + 2$: $\frac{dy}{dx} = 6(3x + 2).$

2. Evalúa la derivada en $x = 2$: Sustituimos $x = 2$ en la derivada: $\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = 6(3(2) + 2) = 6(6 + 2) = 6 \cdot 8 = 48.$

   La pendiente de la tangente en $x = 2$ es 48.

3. Encuentra la pendiente de la normal: La pendiente de la normal es el negativo recíproco de la pendiente de la tangente. $m_{\text{normal}} = -\frac{1}{48}.$

4. Encuentra el punto en la curva donde $x = 2$: Sustituimos $x = 2$ en la función original para encontrar $y$: $y = (3(2) + 2)^2 = (6 + 2)^2 = 8^2 = 64.$

   Entonces, el punto es $(2, 64)$.

5. Escribe la ecuación de la normal: Usamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1),$ donde $(x_1, y_1) = (2, 64)$ y $m = -\frac{1}{48}$.

   Sustituimos los valores: $y - 64 = -\frac{1}{48}(x - 2).$

6. Simplifica la ecuación: Multiplicamos ambos lados por 48 para eliminar el denominador: $48(y - 64) = -(x - 2).$

   Distribuimos y simplificamos: $48y - 3072 = -x + 2.$

   Finalmente, reordenamos para obtener la ecuación en forma estándar: $x + 48y = 3074.$

Entonces, la ecuación de la normal a la curva en el punto donde $x = 2$ es: $x + 48y = 3074.$