What is the equation of the tangent to the curve:𝑦=2𝑥3+𝑥2y=2x 3 +x 2 y, equals, 2, x, cubed, plus, x, squaredat the point where 𝑥=2x=2x, equals, 2?

Para encontrar la ecuación de la tangente a la curva $y = 2x^3 + x^2$ en el punto donde $x = 2$, sigue estos pasos:

1. Encuentra el valor de $y$ en $x = 2$: $y = 2(2)^3 + (2)^2 = 2 \cdot 8 + 4 = 16 + 4 = 20$ Entonces, el punto de tangencia es $(2, 20)$.

2. Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ para encontrar la pendiente de la tangente: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 + x^2) = 6x^2 + 2x$

3. Evalúa la derivada en $x = 2$ para encontrar la pendiente en ese punto: $\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = 6(2)^2 + 2(2) = 6 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 24 + 4 = 28$ Entonces, la pendiente de la tangente en $x = 2$ es 28.

4. Usa la fórmula de la recta tangente $y - y_1 = m(x - x_1)$, donde $m$ es la pendiente y $(x_1, y_1)$ es el punto de tangencia: $y - 20 = 28(x - 2)$

5. Simplifica la ecuación para obtener la forma explícita de la tangente: $y - 20 = 28x - 56$ $y = 28x - 56 + 20$ $y = 28x - 36$

Por lo tanto, la ecuación de la tangente a la curva en el punto donde $x = 2$ es: $y = 28x - 36$