Fie functia f : [0, ∞) −→ R, definita prin f (x) = x2 + 3x + 2, ∀x ∈ R(a) Sa se arate ca functia f este monotona.(b) Sa se determine imaginea prin f a intervalului [0, 4)

(a) Pentru a arăta că funcția $f$ este monotonă, trebuie să analizăm derivata acesteia. Funcția dată este $f(x) = x^2 + 3x + 2$.

Calculăm derivata primei funcții: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 2)$ $f'(x) = 2x + 3$

Observăm că derivata $f'(x) = 2x + 3$ este o funcție liniară cu coeficientul lui $x$ pozitiv (2). Aceasta înseamnă că derivata este întotdeauna pozitivă pentru orice $x \in [0, \infty)$.

Deoarece derivata este pozitivă pe intervalul dat, rezultă că funcția $f(x)$ este strict crescătoare pe intervalul $[0, \infty)$. Prin urmare, funcția $f$ este monotonă crescătoare.

(b) Pentru a determina imaginea prin $f$ a intervalului $[0, 4]$, calculăm valorile funcției la capetele intervalului și analizăm comportamentul funcției pe acest interval.

Calculăm valorile funcției la capetele intervalului: $f(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$ $f(4) = 4^2 + 3 \cdot 4 + 2 = 16 + 12 + 2 = 30$

Deoarece funcția $f$ este strict crescătoare pe intervalul $[0, 4]$, imaginea intervalului $[0, 4]$ prin $f$ va fi intervalul $[f(0), f(4)]$.

Astfel, imaginea intervalului $[0, 4]$ prin $f$ este: $[2, 30]$