3. Fie functia f : [0, ∞) −→ R, definita prin f (x) = 1x + 1 , ∀x ∈ R(a) Sa se arate ca functia f este monotona.(b) Sa se determine imaginea prin f a intervalului [0, 4)

Sigur, voi răspunde pas cu pas la întrebările tale.

(a) Să se arate că funcția f este monotonă.

Funcția dată este $f : [0, ∞) \rightarrow \mathbb{R}$, definită prin $f(x) = \frac{1}{x + 1}$, pentru orice $x \in [0, ∞)$.

Pentru a arăta că funcția este monotonă, vom calcula derivata primei funcții și vom analiza semnul acesteia.

Calculăm derivata funcției $f$: $f(x) = \frac{1}{x + 1}$

Folosim regula derivării pentru o fracție: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) = \frac{0 \cdot (x + 1) - 1 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{(x + 1)^2}$

Observăm că $f'(x) = \frac{-1}{(x + 1)^2}$ este întotdeauna negativă pentru orice $x \in [0, ∞)$, deoarece numitorul este întotdeauna pozitiv.

Deoarece derivata funcției este negativă pe întregul domeniu de definiție, rezultă că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $[0, ∞)$.

(b) Să se determine imaginea prin $f$ a intervalului $[0, 4)$.

Trebuie să găsim valorile pe care le ia funcția $f$ pe intervalul $[0, 4)$.

Calculăm valorile funcției la capetele intervalului: $f(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1$ $f(4) = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$

Deoarece funcția $f$ este descrescătoare, valorile funcției pe intervalul $[0, 4)$ vor fi cuprinse între $f(4)$ și $f(0)$.

Astfel, imaginea prin $f$ a intervalului $[0, 4)$ este intervalul $\left( \frac{1}{5}, 1 \right]$.