A vessel contains a mixture of milk and water in the respective ratio of 5 : 1. 18 liters of mixture was taken out and replaced with the same quantity of milk so that the resultant ratio between the quantities of milk and water in the mixture becomes 7 : 1 respectively. If 28 liters of the mixture is again taken out from the vessel, what is the quantity (in liters) of water that should be added to make the quantity of milk 70% in the mixture

Vamos a resolver el problema paso a paso.

1. Determinar la cantidad inicial de leche y agua en la mezcla: La relación inicial de leche y agua es de 5:1. Supongamos que la cantidad total de la mezcla es $x$ litros. Entonces, la cantidad de leche es $\frac{5}{6}x$ litros y la cantidad de agua es $\frac{1}{6}x$ litros.

2. Sacar 18 litros de la mezcla y reemplazar con leche: Cuando se sacan 18 litros de la mezcla, la proporción de leche y agua en esos 18 litros será la misma que la proporción inicial, es decir, 5:1. Entonces, la cantidad de leche en los 18 litros es $\frac{5}{6} \times 18 = 15$ litros y la cantidad de agua es $\frac{1}{6} \times 18 = 3$ litros.

   Después de sacar 18 litros de la mezcla, la cantidad de leche restante en el recipiente es $\frac{5}{6}x - 15$ litros y la cantidad de agua restante es $\frac{1}{6}x - 3$ litros.

   Luego, se reemplazan los 18 litros con leche, por lo que la nueva cantidad de leche en el recipiente es $\frac{5}{6}x - 15 + 18 = \frac{5}{6}x + 3$ litros, y la cantidad de agua sigue siendo $\frac{1}{6}x - 3$ litros.

3. Establecer la nueva relación de leche y agua: La nueva relación de leche y agua es 7:1. Entonces, podemos escribir la ecuación: $\frac{\frac{5}{6}x + 3}{\frac{1}{6}x - 3} = 7$

4. Resolver la ecuación para $x$: Simplificamos la ecuación: $\frac{5x + 18}{x - 18} = 7$ Multiplicamos ambos lados por $x - 18$: $5x + 18 = 7(x - 18)$ Expandimos y simplificamos: $5x + 18 = 7x - 126$ $18 + 126 = 7x - 5x$ $144 = 2x$ $x = 72$

   Entonces, la cantidad total de la mezcla inicial es 72 litros.

5. Determinar las cantidades de leche y agua después de la primera operación: La cantidad de leche es $\frac{5}{6} \times 72 + 3 = 60 + 3 = 63$ litros. La cantidad de agua es $\frac{1}{6} \times 72 - 3 = 12 - 3 = 9$ litros.

6. Sacar 28 litros de la mezcla: La proporción de leche y agua en los 28 litros será la misma que la actual, es decir, 7:1. Entonces, la cantidad de leche en los 28 litros es $\frac{7}{8} \times 28 = 24.5$ litros y la cantidad de agua es $\frac{1}{8} \times 28 = 3.5$ litros.

   Después de sacar 28 litros de la mezcla, la cantidad de leche restante en el recipiente es $63 - 24.5 = 38.5$ litros y la cantidad de agua restante es $9 - 3.5 = 5.5$ litros.

7. Agregar agua para que la leche sea el 70% de la mezcla: Supongamos que se agregan $y$ litros de agua. La nueva cantidad total de la mezcla es $38.5 + 5.5 + y = 44 + y$ litros. Queremos que la leche sea el 70% de la mezcla: $\frac{38.5}{44 + y} = 0.7$ Multiplicamos ambos lados por $44 + y$: $38.5 = 0.7(44 + y)$ Expandimos y simplificamos: $38.5 = 30.8 + 0.7y$ $38.5 - 30.8 = 0.7y$ $7.7 = 0.7y$ $y = \frac{7.7}{0.7} = 11$

   Entonces, se deben agregar 11 litros de agua para que la cantidad de leche sea el 70% de la mezcla.