El arco de este horno de barro es la mitad de una elipse, o sea una "semielipse". Tal y como se muestra en la figura, el arco tiene una altura de 65cm en el centro y una anchura de 152cm. El arco tiene 13cm de alto en el punto p. Calcular la distancia que hay de p hasta el centro.Redondear la respuesta a la centésima más cercana. No redondear los cálculos intermedios.
Question
El arco de este horno de barro es la mitad de una elipse, o sea una "semielipse". Tal y como se muestra en la figura, el arco tiene una altura de 65cm en el centro y una anchura de 152cm. El arco tiene 13cm de alto en el punto p. Calcular la distancia que hay de p hasta el centro.Redondear la respuesta a la centésima más cercana. No redondear los cálculos intermedios.
Solution
Para resolver este problema, necesitamos entender cómo funciona una elipse. En una elipse, los puntos están dispuestos de tal manera que la suma de las distancias desde dos puntos fijos (focos) a cualquier punto en la elipse es constante.
En este caso, la altura del arco en el centro es de 65 cm, que es el semieje mayor (a) de la elipse, y la anchura total es de 152 cm, que es el diámetro del semieje menor (b), por lo que el semieje menor es de 76 cm.
La ecuación de una elipse con centro en el origen es x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Sabemos que la altura en el punto p es de 13 cm, por lo que podemos sustituir y = 13 en la ecuación de la elipse para obtener x, que es la distancia desde el punto p hasta el centro de la elipse.
Entonces, la ecuación se convierte en x^2/a^2 + (13)^2/(76)^2 = 1.
Resolviendo para x, obtenemos x = sqrt[a^2 * (1 - (13)^2/(76)^2)].
Sustituyendo a = 65, obtenemos x = sqrt[(65)^2 * (1 - (13)^2/(76)^2)].
Calculando esto, obtenemos x = 63.87 cm.
Por lo tanto, la distancia desde el punto p hasta el centro de la elipse es de aproximadamente 63.87 cm.
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