Un túnel en forma de arco parabólico vertical tiene una altura máxima de 12 metros y suspuntos de apoyo en el suelo están separados 30 metros. ¿cuál es el ancho del túnel a laaltura del foco?

Para resolver este problema, primero necesitamos entender que un arco parabólico sigue la ecuación y = ax^2 + bx + c. En este caso, sabemos que la parábola tiene un vértice en (0,12) (la altura máxima del túnel) y cruza el eje x en (-15,0) y (15,0) (los puntos de apoyo en el suelo). Esto nos permite determinar la ecuación de la parábola.

1. Primero, ajustamos la ecuación de la parábola para que el vértice esté en el origen, cambiando x por (x-15). La ecuación se convierte en y = a(x-15)^2.

2. Luego, usamos el punto (15,0) para resolver para 'a'. 0 = a(15-15)^2 se resuelve a 'a' = 0.

3. Sin embargo, sabemos que 'a' no puede ser 0, ya que esto resultaría en una línea recta, no en una parábola. Por lo tanto, debemos haber cometido un error al ajustar la ecuación. En realidad, la ecuación de la parábola con vértice en (h,k) es y = a(x-h)^2 + k. En este caso, h = 0 y k = 12, por lo que la ecuación se convierte en y = ax^2 + 12.

4. Ahora, usamos el punto (15,0) para resolver para 'a'. 0 = a(15)^2 + 12 se resuelve a 'a' = -12/225 = -0.0533.

5. Ahora que tenemos la ecuación de la parábola, y = -0.0533x^2 + 12, podemos encontrar la altura del foco. El foco de una parábola y = ax^2 + k está en (0, k - 1/4a). En este caso, eso es (0, 12 - 1/(4*-0.0533)) = (0, 12 - 4.7) = (0, 7.3).

6. Finalmente, para encontrar el ancho del túnel a la altura del foco, sustituimos y = 7.3 en la ecuación de la parábola y resolvemos para x. 7.3 = -0.0533x^2 + 12 se resuelve a x^2 = (12 - 7.3)/-0.0533 = -88.57. Como x^2 no puede ser negativo, debemos haber cometido un error. En realidad, la ecuación debería ser 7.3 = -0.0533x^2 + 12, que se resuelve a x^2 = (12 - 7.3)/0.0533 = 88.57. Por lo tanto, x = ±√88.57 = ±9.41. Como el túnel es simétrico, el ancho del túnel a la altura del foco es 2*9.41 = 18.82 metros.