og 2​ (3x 2 +3)−log 2​ (4x+2)=0

Claro, aquí tienes la solución paso a paso:

1. Dada la ecuación: $\log_2 (3x^2 + 3) - \log_2 (4x + 2) = 0$

2. Utilizamos la propiedad de los logaritmos que dice que la resta de logaritmos es igual al logaritmo del cociente: $\log_2 \left( \frac{3x^2 + 3}{4x + 2} \right) = 0$

3. Sabemos que $\log_2 (1) = 0$, por lo tanto: $\frac{3x^2 + 3}{4x + 2} = 1$

4. Simplificamos la fracción: $3x^2 + 3 = 4x + 2$

5. Movemos todos los términos al mismo lado de la ecuación para igualar a cero: $3x^2 - 4x + 1 = 0$

6. Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver usando la fórmula general: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Donde $a = 3$, $b = -4$, y $c = 1$.

7. Sustituimos los valores en la fórmula: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}$ $x = \frac{4 \pm 2}{6}$

8. Esto nos da dos soluciones: $x = \frac{4 + 2}{6} = 1$ [ x

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

La ecuación dada es: $\log_2 (3x^2 + 3) - \log_2 (4x + 2) = 0$

Paso 1: Utilizar la propiedad de los logaritmos que dice que $\log_b (a) - \log_b (c) = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$.

Aplicando esta propiedad, tenemos: $\log_2 \left(\frac{3x^2 + 3}{4x + 2}\right) = 0$

Paso 2: Recordar que $\log_b (1) = 0$, por lo tanto, podemos igualar el argumento del logaritmo a 1: $\frac{3x^2 + 3}{4x + 2} = 1$

Paso 3: Resolver la ecuación resultante. Multiplicamos ambos lados por $4x + 2$ para eliminar el denominador: $3x^2 + 3 = 4x + 2$

Paso 4: Reorganizar la ecuación para formar una ecuación cuadrática: $3x^2 - 4x + 1 = 0$

Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, donde $a = 3$, $b = -4$, y $c = 1$.

Primero, calcular el discriminante: $b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$

Luego, aplicar la fórmula: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 \pm 2}{6}$

Esto nos da dos soluciones: $x = \frac{4 + 2}{6} = 1$ $x = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Paso 6: Verificar que las soluciones sean válidas en la ecuación original.

Para $x = 1$: $\log_2 (3(1)^2 + 3) - \log_2 (4(1) + 2) = \log_2 (6) - \log_2 (6) = 0$

Para $x = \frac{1}{3}$: $\log_2 \left(3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 3\right) - \log_2 \left(4\left(\frac{1}{3}\right) + 2\right) = \log_2 \left(3\left(\frac{1}{9}\right) + 3\right) - \log_2 \left(\frac{4}{3} + 2\right) = \log_2 \left(\frac{1}{3} + 3\right) - \log_2 \left(\frac{10}{3}\right) = \log_2 \left(\frac{10}{3}\right) - \log_2 \left(\frac{10}{3}\right) = 0$

Ambas soluciones son válidas.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son: $x = 1$ $x = \frac{1}{3}$