y=2x 2 −16x+42

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

La ecuación dada es: $y = 2x^2 - 16x + 42$

Primero, identificamos los coeficientes de la ecuación cuadrática: $a = 2, \quad b = -16, \quad c = 42$

Para encontrar los valores de $x$ donde $y = 0$, utilizamos la fórmula cuadrática: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Calculamos el discriminante ($\Delta$): $\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = (-16)^2 - 4(2)(42)$ $\Delta = 256 - 336$ $\Delta = -80$

Dado que el discriminante es negativo ($\Delta < 0$), la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que la parábola no corta el eje $x$.

Para encontrar el vértice de la parábola, utilizamos las fórmulas: $x_v = \frac{-b}{2a}$ $y_v = y(x_v)$

Calculamos $x_v$: $x_v = \frac{-(-16)}{2(2)}$ $x_v = \frac{16}{4}$ $x_v = 4$

Ahora, calculamos $y_v$ sustituyendo $x_v$ en la ecuación original: $y_v = 2(4)^2 - 16(4) + 42$ $y_v = 2(16) - 64 + 42$ $y_v = 32 - 64 + 42$ $y_v = 10$

Por lo tanto, el vértice de la parábola es $(4, 10)$.

Finalmente, podemos concluir que la parábola tiene su vértice en $(4, 10)$ y no corta el eje $x$ debido a que el discriminante es negativo.