Será 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑥⁄ + 3𝑦 + 5𝑧 = 0}subespacio de ℝ3?a. Si ya que cumple los dos axiomas declausura.b. No ya que no cumple ningún axioma declausurac. Si ya que cumple un axioma y el otro nod. Si ya que no importa que cumpla losaxiomas, porque es un subconjunto delespacio tridimensional

Para determinar si un conjunto es un subespacio de ℝ3, debe cumplir con tres propiedades:

1. El conjunto debe contener el vector cero.
2. Debe estar cerrado bajo la adición de vectores.
3. Debe estar cerrado bajo la multiplicación por escalares.

Aplicando estas propiedades a 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0}, podemos ver que:

1. Si sustituimos 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 en la ecuación, obtenemos 0 = 0, lo que es verdadero. Por lo tanto, el conjunto contiene el vector cero.
2. Si tomamos dos vectores arbitrarios en el conjunto, digamos (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), y los sumamos, obtenemos (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2). Si sustituimos estos valores en la ecuación, obtenemos 2(𝑥1 + 𝑥2) + 3(𝑦1 + 𝑦2) + 5(𝑧1 + 𝑧2) = 0, que se simplifica a 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑦1 + 3𝑦2 + 5𝑧1 + 5𝑧2 = 0. Dado que 2𝑥1 + 3𝑦1 + 5𝑧1 = 0 y 2𝑥2 + 3𝑦2 + 5𝑧2 = 0, la ecuación es verdadera. Por lo tanto, el conjunto está cerrado bajo la adición.
3. Si tomamos un vector arbitrario en el conjunto, digamos (𝑥, 𝑦, 𝑧), y lo multiplicamos por un escalar 𝑘, obtenemos (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧). Si sustituimos estos valores en la ecuación, obtenemos 2(𝑘𝑥) + 3(𝑘𝑦) + 5(𝑘𝑧) = 0, que se simplifica a 𝑘(2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) = 0. Dado que 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0, la ecuación es verdadera. Por lo tanto, el conjunto está cerrado bajo la multiplicación por escalares.

Por lo tanto, 𝑆 es un subespacio de ℝ3. La respuesta correcta sería la opción a. "Si ya que cumple los dos axiomas de clausura."