好的，讓我們一步一步來解決這個問題。

1. **定義變數**：
- 股票基金 (E) 的期望報酬 $ E(R_E) = 0.14 $
- 股票基金 (E) 的標準差 $ \sigma_E = 0.20 $
- 債券基金 (D) 的期望報酬 $ E(R_D) = 0.09 $
- 債券基金 (D) 的標準差 $ \sigma_D = 0.12 $
- 兩者的相關係數 $ \rho_{ED} = 0.3 $
- 短天期國庫券 (T-bill) 利率 $ R_f = 0.06 $
- 風險趨避係數 $ A = 5 $

2. **計算股票和債券的權重**：
- 設股票基金的權重為 $ w_E $
- 設債券基金的權重為 $ w_D $
- 設短天期國庫券的權重為 $ w_f $

因為投資人將所有財富投入到股票、債券與短天期國庫券上，所以 $ w_E + w_D + w_f = 1 $。

3. **計算投資組合的期望報酬**：
$$
E(R_P) = w_E \cdot E(R_E) + w_D \cdot E(R_D) + w_f \cdot R_f
$$

4. **計算投資組合的風險（標準差）**：
$$
\sigma_P = \sqrt{w_E^2 \cdot \sigma_E^2 + w_D^2 \cdot \sigma_D^2 + 2 \cdot w_E \cdot w_D \cdot \sigma_E \cdot \sigma_D \cdot \rho_{ED}}
$$

5. **計算投資組合的夏普比率**：
$$
\text{Sharpe Ratio} = \frac{E(R_P) - R_f}{\sigma_P}
$$

6. **最大化夏普比率**：
投資人會選擇一個投資組合，使得夏普比率最大化。這可以通過以下公式來計算股票和債券的權重：
$$
w_E = \frac{E(R_E) - R_f}{A \cdot \sigma_E^2}
$$
$$
w_D = \frac{E(R_D) - R_f}{A \cdot \sigma_D^2}
$$

7. **計算股票和債券的權重**：
$$
w_E = \frac{0.14 - 0.06}{5 \cdot 0.20^2} = \frac{0.08}{0.20} = 0.4
$$
$$
w_D = \frac{0.09 - 0.06}{5 \cdot 0.12^2} = \frac{0.03}{0.072} \approx 0.4167
$$

8. **計算短天期國庫券的權重**：
$$
w_f = 1 - w_E - w_D = 1 - 0.4 - 0.4167 = 0.1833
$$

因此，該投資人在短天期國庫券上的投資比例應為 18.33%。

Question

好的，讓我們一步一步來解決這個問題。

1. **定義變數**：
   - 股票基金 (E) 的期望報酬 $ E(R_E) = 0.14 $
   - 股票基金 (E) 的標準差 $ \sigma_E = 0.20 $
   - 債券基金 (D) 的期望報酬 $ E(R_D) = 0.09 $
   - 債券基金 (D) 的標準差 $ \sigma_D = 0.12 $
   - 兩者的相關係數 $ \rho_{ED} = 0.3 $
   - 短天期國庫券 (T-bill) 利率 $ R_f = 0.06 $
   - 風險趨避係數 $ A = 5 $

2. **計算股票和債券的權重**：
   - 設股票基金的權重為 $ w_E $
   - 設債券基金的權重為 $ w_D $
   - 設短天期國庫券的權重為 $ w_f $

因為投資人將所有財富投入到股票、債券與短天期國庫券上，所以 $ w_E + w_D + w_f = 1 $。

3. **計算投資組合的期望報酬**：
   $$
   E(R_P) = w_E \cdot E(R_E) + w_D \cdot E(R_D) + w_f \cdot R_f
   $$

4. **計算投資組合的風險（標準差）**：
   $$
   \sigma_P = \sqrt{w_E^2 \cdot \sigma_E^2 + w_D^2 \cdot \sigma_D^2 + 2 \cdot w_E \cdot w_D \cdot \sigma_E \cdot \sigma_D \cdot \rho_{ED}}
   $$

5. **計算投資組合的夏普比率**：
   $$
   \text{Sharpe Ratio} = \frac{E(R_P) - R_f}{\sigma_P}
   $$

6. **最大化夏普比率**：
   投資人會選擇一個投資組合，使得夏普比率最大化。這可以通過以下公式來計算股票和債券的權重：
   $$
   w_E = \frac{E(R_E) - R_f}{A \cdot \sigma_E^2}
   $$
   $$
   w_D = \frac{E(R_D) - R_f}{A \cdot \sigma_D^2}
   $$

7. **計算股票和債券的權重**：
   $$
   w_E = \frac{0.14 - 0.06}{5 \cdot 0.20^2} = \frac{0.08}{0.20} = 0.4
   $$
   $$
   w_D = \frac{0.09 - 0.06}{5 \cdot 0.12^2} = \frac{0.03}{0.072} \approx 0.4167
   $$

8. **計算短天期國庫券的權重**：
   $$
   w_f = 1 - w_E - w_D = 1 - 0.4 - 0.4167 = 0.1833
   $$

因此，該投資人在短天期國庫券上的投資比例應為 18.33%。

Knowee AI · Accepted Answer