以下為單因子的經濟體下的資料，且所有投資組合都達到充分風險分散效果： 投資組合A 期望報酬 8% beta 1.5 投資組合B 期望報酬 5% beta 0 假設今有另一個投資組合E，其beta值為0.5，期望報酬為7%。試問是否存在套利機會?
Question
以下為單因子的經濟體下的資料，且所有投資組合都達到充分風險分散效果： 投資組合A 期望報酬 8% beta 1.5
投資組合B 期望報酬 5% beta 0
假設今有另一個投資組合E，其beta值為0.5，期望報酬為7%。試問是否存在套利機會?
Solution 1
在單因子模型中，投資組合的期望報酬率應該與其Beta值成正比。換句話說，Beta值較高的投資組合應該有較高的期望報酬率，反之亦然。
首先，我們可以計算出市場的風險溢酬率。由於投資組合A的Beta值為1.5，期望報酬率為8%，而投資組合B的Beta值為0，期望報酬率為5%，我們可以設定市場的風險溢酬率為(rm-rf)。因此，我們有以下等式：
8% = 5% + 1.5*(rm-rf)
解這個等式，我們可以得到rm-rf = 2%。
然後，我們可以使用這個市場風險溢酬率來計算投資組合E的期望報酬率。由於投資組合E的Beta值為0.5，我們有以下等式：
re = rf + 0.5*(rm-rf)
將我們之前計算出的市場風險溢酬率代入這個等式，我們可以得到：
re = 5% + 0.5*2% = 6%
然而，投資組合E的實際期望報酬率為7%，高於我們根據其Beta值計算出的期望報酬率。這意味著投資組合E被低估，因此存在套利機會。投資者可以購買這個被低估的投資組合，並賣出市場組合，從而實現無風險的利潤。
Solution 2
在單因子模型中，投資組合的期望報酬率應該與其Beta值成正比。換句話說，Beta值越高，期望報酬率也應該越高。在這個問題中，我們可以看到投資組合A的Beta值為1.5，期望報酬率為8%，而投資組合B的Beta值為0，期望報酬率為5%。
首先，我們可以計算出市場的風險溢酬率（Risk Premium），也就是風險資產的期望報酬與無風險資產的期望報酬之間的差異。在這個例子中，市場的風險溢酬率為8% - 5% = 3%。
接著，我們可以計算出投資組合E應有的期望報酬率。根據單因子模型，投資組合E的期望報酬率應該為無風險資產的期望報酬（5%）加上其Beta值（0.5）乘以市場的風險溢酬率（3%）。換句話說，投資組合E的期望報酬率應該為5% + 0.5 * 3% = 6.5%。
然而，投資組合E的實際期望報酬率為7%，高於我們根據單因子模型計算出的期望報酬率（6.5%）。這意味著投資組合E的報酬率過高，存在套利機會。投資者可以透過賣出投資組合E，並購買與其風險等同的市場組合來獲取無風險利潤。
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