Which function has a discontinuity at x=3?Responsesf(x)={3x+1 for x<3x2+1 for x≥3𝑓(𝑥)={3𝑥+1 𝑓𝑜𝑟 𝑥<3𝑥2+1 𝑓𝑜𝑟 𝑥≥3f(x)={3x+1 for x<3x2+1 for x≥3𝑓(𝑥)={3𝑥+1 𝑓𝑜𝑟 𝑥<3𝑥2+1 𝑓𝑜𝑟 𝑥≥3f(x)=|x−3|+2𝑓(𝑥)=|𝑥−3|+2f of x is equal to start absolute value x minus 3 end absolute value plus 2f(x)=x−3x2𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥2f of x is equal to the fraction with numerator x minus 3 and denominator x squaredf(x)=x+2x2−9

Para determinar cuál función tiene una discontinuidad en $x = 3$, evaluemos cada una de las funciones dadas:

1. $f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{para } x < 3 \\ x^2 + 1 & \text{para } x \geq 3 \end{cases}$

   • Para $x < 3$, $f(x) = 3x + 1$.
   • Para $x \geq 3$, $f(x) = x^2 + 1$.
   • Evaluamos los límites en $x = 3$:
     • Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3(3) + 1 = 10$.
     • Límite por la derecha: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 + 1 = 10$.
   • El valor de la función en $x = 3$ es $f(3) = 3^2 + 1 = 10$.
   • Como los límites y el valor de la función coinciden, no hay discontinuidad en $x = 3$.

2. $f(x) = |x - 3| + 2$

   • Evaluamos el valor de la función en $x = 3$:
     • $f(3) = |3 - 3| + 2 = 0 + 2 = 2$.
   • La función $|x - 3| + 2$ es continua para todos los valores de $x$, incluyendo $x = 3$.

3. $f(x) = \frac{x - 3}{x^2}$

   • Evaluamos el valor de la función en $x = 3$:
     • $f(3) = \frac{3 - 3}{3^2} = \frac{0}{9} = 0$.
   • La función es continua en $x = 3$ ya que no hay división por cero y el valor es finito.

4. $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 9}$

   • Evaluamos el valor de la función en $x = 3$:
     • $f(3) = \frac{3 + 2}{3^2 - 9} = \frac{5}{9 - 9} = \frac{5}{0}$, lo cual es una indeterminación.
   • La función tiene una discontinuidad en $x = 3$ porque el denominador se hace cero, lo que causa una división por cero.

Por lo tanto, la función que tiene una discontinuidad en $x = 3$ es $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 9}$.