If 𝑧=𝑠𝑖𝑛⁡(3𝑥+2𝑦), determine 3∂2𝑧∂𝑦2-2∂2𝑧∂𝑥2Question 9Answera.-6𝑠𝑖𝑛⁡(3𝑥+2𝑦)b.12𝑠𝑖𝑛⁡(3𝑥+2𝑦)c.6𝑧d.6𝑐𝑜𝑠⁡(3𝑥+2𝑦)

Para resolver la expresión $3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - 2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ donde $z = \sin(3x + 2y)$, sigamos los siguientes pasos:

1. Primera derivada parcial de $z$ respecto a $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin(3x + 2y) = \cos(3x + 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (3x + 2y) = \cos(3x + 2y) \cdot 2 = 2\cos(3x + 2y)$

2. Segunda derivada parcial de $z$ respecto a $y$: $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2\cos(3x + 2y) \right) = 2 \cdot \left( -\sin(3x + 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y} (3x + 2y) \right) = 2 \cdot \left( -\sin(3x + 2y) \cdot 2 \right) = -4\sin(3x + 2y)$

3. Primera derivada parcial de $z$ respecto a $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(3x + 2y) = \cos(3x + 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (3x + 2y) = \cos(3x + 2y) \cdot 3 = 3\cos(3x + 2y)$

4. Segunda derivada parcial de $z$ respecto a $x$: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 3\cos(3x + 2y) \right) = 3 \cdot \left( -\sin(3x + 2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} (3x + 2y) \right) = 3 \cdot \left( -\sin(3x + 2y) \cdot 3 \right) = -9\sin(3x + 2y)$

5. Sustituyendo en la expresión original: $3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - 2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 3(-4\sin(3x + 2y)) - 2(-9\sin(3x + 2y))$ $= -12\sin(3x + 2y) + 18\sin(3x + 2y)$ $= 6\sin(3x + 2y)$

Por lo tanto, la respuesta correcta es: c. $6z$