Find lim𝑥→1 𝑓(𝑥), where𝑓(𝑥) { 𝑥2 − 1, 𝑥 ≤ 1−𝑥2 − 1, 𝑥 > 1

Para encontrar el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 1, primero debemos considerar los valores de $f(x)$ a la izquierda y a la derecha de $x = 1$.

La función $f(x)$ está definida de la siguiente manera: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -x^2 - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

1. Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): Cuando $x$ se aproxima a 1 por la izquierda, usamos la parte de la función donde $x \leq 1$: $f(x) = x^2 - 1$ Calculamos el límite: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1)$ Sustituyendo $x = 1$: $\lim_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0$

2. Límite por la derecha ($x \to 1^+$): Cuando $x$ se aproxima a 1 por la derecha, usamos la parte de la función donde $x > 1$: $f(x) = -x^2 - 1$ Calculamos el límite: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x^2 - 1)$ Sustituyendo $x = 1$: $\lim_{x \to 1^+} (-x^2 - 1) = -1^2 - 1 = -2$

3. Conclusión: Observamos que los límites laterales no son iguales: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -2$

   Dado que los límites laterales no coinciden, el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 1 no existe.

Por lo tanto: $\lim_{x \to 1} f(x) \text{ no existe}$