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Os 200 funcionários de um escritório decidiram fazer uma festa de final de ano. Para tal, contrataram uma empresa especializada que apresentou a seguinte proposta: Cada funcionário deveria pagar R$ 1.000,00 até um mês antes da festa, porém, para cada funcionário que desistisse, cada um dos funcionários restantes pagaria um acréscimo de R$ 10,00. De acordo com essa proposta, o número de funcionários participantes que maximiza a receita da empresa é A)50. B)100. C)150. D)180. E)200.

Question

Os 200 funcionários de um escritório decidiram fazer uma festa de final de ano. Para tal, contrataram uma empresa especializada que apresentou a seguinte proposta: Cada funcionário deveria pagar R1.000,00ateˊumme^santesdafesta,poreˊm,paracadafuncionaˊrioquedesistisse,cadaumdosfuncionaˊriosrestantespagariaumacreˊscimodeR 1.000,00 até um mês antes da festa, porém, para cada funcionário que desistisse, cada um dos funcionários restantes pagaria um acréscimo de R 10,00.

De acordo com essa proposta, o número de funcionários participantes que maximiza a receita da empresa é

A)50. B)100. C)150. D)180. E)200.

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Solution

Para resolver essa questão, precisamos entender que a receita da empresa é dada pela soma do valor pago por cada funcionário. O valor que cada funcionário paga é R1.000,00maisR 1.000,00 mais R 10,00 para cada funcionário que desistiu. Portanto, se x é o número de funcionários que participam, então 200 - x é o número de funcionários que desistiram.

A receita da empresa é então dada por R(x) = x * (1000 + 10 * (200 - x)).

Queremos maximizar essa receita, então precisamos encontrar o valor de x que maximiza R(x). Para isso, podemos tirar a derivada de R(x) e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

R'(x) = 1000 - 20x.

Igualando a zero, temos 1000 - 20x = 0, o que nos dá x = 50.

Portanto, o número de funcionários participantes que maximiza a receita da empresa é 50, que corresponde à alternativa A.

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