Etsi funktion f (x, y) = x2 − 2x + y2 suurin ja pienin arvo kolmiossa (sisältääreunan), jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (0, 1) ja (1, 0). Ohje: suora y = −x + 1kulkee kahden kärkipisteen kautta

Tämä ongelma voidaan ratkaista seuraavasti:

1. Määritä funktion f(x, y) = x^2 - 2x + y^2 arvot kolmion kärkipisteissä (0, 0), (0, 1) ja (1, 0).

   f(0, 0) = 0^2 - 20 + 0^2 = 0 f(0, 1) = 0^2 - 20 + 1^2 = 1 f(1, 0) = 1^2 - 2*1 + 0^2 = -1

2. Tarkista, onko funktion suurin tai pienin arvo näissä pisteissä. Tässä tapauksessa suurin arvo on 1 ja pienin arvo on -1.

3. Tarkista, onko funktion suurin tai pienin arvo kolmion sisällä. Tämä voidaan tehdä määrittämällä funktion kriittiset pisteet ja tarkistamalla, ovatko ne kolmion sisällä. Funktion kriittiset pisteet ovat pisteet, joissa sen ensimmäisen asteen osittaisderivaatat ovat nolla.

   f_x = 2x - 2 = 0 --> x = 1 f_y = 2y = 0 --> y = 0

   Kriittinen piste on (1, 0), joka on kolmion sisällä.

4. Määritä funktion arvo kriittisessä pisteessä.

   f(1, 0) = 1^2 - 2*1 + 0^2 = -1

5. Vertaa kriittisen pisteen arvoa kolmion kärkipisteiden arvoihin. Tässä tapauksessa kriittisen pisteen arvo on sama kuin pienin arvo kolmion kärkipisteissä.

Joten funktion f(x, y) = x^2 - 2x + y^2 suurin arvo kolmiossa, jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (0, 1) ja (1, 0), on 1 ja pienin arvo on -1.