8n2 + 4n − 16 = −n2

Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.

1. Primero, movemos todos los términos al mismo lado de la ecuación para igualar a cero:

   $8n^2 + 4n - 16 = -n^2$

   Sumamos $n^2$ a ambos lados:

   $8n^2 + 4n - 16 + n^2 = 0$

   Simplificamos:

   $9n^2 + 4n - 16 = 0$

2. Ahora tenemos una ecuación cuadrática en la forma estándar $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a = 9$, $b = 4$, y $c = -16$.

3. Utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar los valores de $n$:

   $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Sustituimos los valores de $a$, $b$ y $c$:

   $n = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(9)(-16)}}{2(9)}$

4. Simplificamos dentro de la raíz:

   $n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 576}}{18}$

   $n = \frac{-4 \pm \sqrt{592}}{18}$

5. Simplificamos la raíz cuadrada:

   $n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 37}}{18}$

   $n = \frac{-4 \pm 4\sqrt{37}}{18}$

6. Simplificamos la fracción:

   $n = \frac{-4(1 \pm \sqrt{37})}{18}$

   $n = \frac{-2(1 \pm \sqrt{37})}{9}$

Por lo tanto, las soluciones para $n$ son:

$n = \frac{-2(1 + \sqrt{37})}{9}$ y $n = \frac{-2(1 - \sqrt{37})}{9}$