Find the general solution of this differential equation with separable variables: ((3e^x)sin y dx + (1 - e^x)cos ydy = 0)

Claro, aquí tienes la solución paso a paso:

Dada la ecuación diferencial:

$(3e^x \sin y) \, dx + (1 - e^x) \cos y \, dy = 0$

Primero, separamos las variables. Reescribimos la ecuación de la siguiente manera:

$3e^x \sin y \, dx = -(1 - e^x) \cos y \, dy$

Dividimos ambos lados por $(1 - e^x) \cos y \sin y$:

$\frac{3e^x \, dx}{1 - e^x} = -\frac{\cos y \, dy}{\sin y}$

Simplificamos cada lado:

$\frac{3e^x \, dx}{1 - e^x} = -\cot y \, dy$

Ahora integramos ambos lados por separado. Empezamos con el lado izquierdo:

$\int \frac{3e^x}{1 - e^x} \, dx$

Hacemos un cambio de variable $u = 1 - e^x$, entonces $du = -e^x \, dx$. Reescribimos la integral:

$\int \frac{3e^x}{1 - e^x} \, dx = \int \frac{3(-du)}{u} = -3 \int \frac{du}{u} = -3 \ln |u| = -3 \ln |1 - e^x|$

Ahora integramos el lado derecho:

$\int -\cot y \, dy = \int -\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\ln |\sin y|$

Entonces, tenemos:

$-3 \ln |1 - e^x| = -\ln |\sin y| + C$

Multiplicamos ambos lados por -1:

$3 \ln |1 - e^x| = \ln |\sin y| - C$

Podemos reescribir la constante $-C$ como una nueva constante $C'$:

$3 \ln |1 - e^x| = \ln |\sin y| + C'$

Exponenciamos ambos lados para eliminar los logaritmos:

$|1 - e^x|^3 = k |\sin y|$

donde $k = e^{C'}$ es una nueva constante. Finalmente, podemos escribir la solución general como:

$|1 - e^x|^3 = k |\sin y|$

o, de manera equivalente:

$(1 - e^x)^3 = C \sin y$

donde $C$ es una constante arbitraria. Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.