Find the particular solution of this differential equation with initial conditions y(0)=1: (y' = y:(3x-y^2))

Para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas, seguimos estos pasos:

1. Ecuación diferencial dada: $y' = y(3x - y^2)$

2. Condición inicial: $y(0) = 1$

3. Separar las variables: $\frac{dy}{y(3x - y^2)} = dx$

4. Integrar ambos lados: La integral del lado izquierdo es un poco complicada, así que primero simplificamos la fracción: $\frac{dy}{y(3x - y^2)} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{3x - y^2}$

   Para integrar, podemos usar una sustitución. Sea $u = 3x - y^2$, entonces $du = -2y \, dy$ o $dy = -\frac{du}{2y}$.

   Sustituyendo en la integral: $\int \frac{1}{y} \cdot \frac{-\frac{du}{2y}}{u} = \int -\frac{1}{2} \cdot \frac{du}{u}$

   Esto se simplifica a: $-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2} \ln|u| + C$

   Sustituyendo $u = 3x - y^2$: $-\frac{1}{2} \ln|3x - y^2| = x + C$

5. Resolver para $y$: Exponenciamos ambos lados para deshacernos del logaritmo: $|3x - y^2| = e^{-2(x + C)}$

   Simplificamos la constante $e^{-2C}$ como una nueva constante $K$: $3x - y^2 = Ke^{-2x}$

6. Aplicar la condición inicial $y(0) = 1$: $3(0) - 1^2 = K e^{-2(0)}$ $-1 = K$

   Entonces, la ecuación se convierte en: $3x - y^2 = -e^{-2x}$

7. Despejar $y$: $y^2 = 3x + e^{-2x}$ $y = \pm \sqrt{3x + e^{-2x}}$

   Dado que $y(0) = 1$, seleccionamos la solución positiva: $y = \sqrt{3x + e^{-2x}}$

Por lo tanto, la solución particular de la ecuación diferencial con la condición inicial $y(0) = 1$ es: $y = \sqrt{3x + e^{-2x}}$