In triangle XYZ, the measure of angle Y is 90°90° and YW¯¯¯¯¯¯𝑌𝑊¯ is an altitude of the triangle. The length of XY¯¯¯¯¯¯𝑋𝑌¯ is 26, and the length of XZ¯¯¯¯¯𝑋𝑍¯ is triple the length of XY¯¯¯¯¯¯𝑋𝑌¯. What is the value of YW¯¯¯¯¯¯YZ¯¯¯¯¯𝑌𝑊¯𝑌𝑍¯?130130eliminate1313eliminate33eliminate2626eliminate

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

1. Identificar las longitudes dadas:

   • La longitud de $XY$ es 26.
   • La longitud de $XZ$ es el triple de $XY$, por lo tanto, $XZ = 3 \times 26 = 78$.

2. Usar el Teorema de Pitágoras: Dado que $\angle Y$ es un ángulo recto, el triángulo $XYZ$ es un triángulo rectángulo con $YW$ como la altura desde $Y$ a $XZ$.

3. Calcular la longitud de $YZ$: Usamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo $XYZ$: $XZ^2 = XY^2 + YZ^2$ Sustituyendo los valores conocidos: $78^2 = 26^2 + YZ^2$ $6084 = 676 + YZ^2$ $YZ^2 = 6084 - 676$ $YZ^2 = 5408$ $YZ = \sqrt{5408}$ $YZ = 2\sqrt{1352}$ $YZ = 2 \times 2\sqrt{338}$ $YZ = 4\sqrt{338}$

4. Calcular la longitud de $YW$: Usamos la fórmula del área de un triángulo rectángulo: $\text{Área} = \frac{1}{2} \times XY \times YZ = \frac{1}{2} \times XZ \times YW$ Sustituyendo los valores conocidos: $\frac{1}{2} \times 26 \times YZ = \frac{1}{2} \times 78 \times YW$ $26 \times YZ = 78 \times YW$ $YW = \frac{26 \times YZ}{78}$ $YW = \frac{26 \times 4\sqrt{338}}{78}$ $YW = \frac{104\sqrt{338}}{78}$ $YW = \frac{52\sqrt{338}}{39}$ $YW = \frac{4\sqrt{338}}{3}$

5. Calcular la razón $\frac{YW}{YZ}$: $\frac{YW}{YZ} = \frac{\frac{4\sqrt{338}}{3}}{4\sqrt{338}}$ $\frac{YW}{YZ} = \frac{4\sqrt{338}}{3} \times \frac{1}{4\sqrt{338}}$ $\frac{YW}{YZ} = \frac{1}{3}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es $\frac{YW}{YZ} = \frac{1}{3}$.