Collège :IBN ZOHARNiveau : 3apic/2Durée : 1hMatière : mathématiquesPr :Ahmed BARAHNA Devoir surveillé N°2Exercice 1 : (12,5 points)Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J) .On considère les points : 𝑨(𝟏 ; −𝟐 ) , 𝑩(𝟐 ; 𝟏 ) , 𝑪(𝟑 ; 𝟏) 𝒆𝒕 (𝑫) ∶ 𝒚 = − 𝟏𝟐 𝒙 + 𝟏1) Placer les points A , B , C .2) déterminer les coordonnées de vecteur AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,puis déduire la distance AB3) Déterminer les coordonnées du point M le milieu du segment [AB]4) Vérifier que l’équation réduite de la droite (AB) est : 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟓5) Déterminer l’équation réduite de la droite (D’) qui passe par C et parallèle à (D)6) Déterminer l’équation réduite de la droite (D’’) la médiatrice du segment [AB]7) Tracer les droites (D) et (D’’) dans le même repère.8) soit N le point d’intersection de deux droites (D) et (AB),Déterminer les coordonnées de N

D'accord, voici les réponses aux questions de l'exercice de mathématiques :

1. Pour placer les points A, B, C sur le plan, vous devez simplement localiser les coordonnées données. A(1, -2), B(2, 1), C(3, 1).

2. Les coordonnées du vecteur AB sont obtenues en soustrayant les coordonnées de A de celles de B. Donc, AB = (2-1, 1-(-2)) = (1, 3). La distance AB est obtenue en utilisant le théorème de Pythagore : √((1)^2 + (3)^2) = √10.

3. Les coordonnées du point M, le milieu du segment [AB], sont obtenues en faisant la moyenne des coordonnées de A et B. Donc, M = ((1+2)/2, (-2+1)/2) = (1.5, -0.5).

4. L'équation de la droite (AB) est y = mx + c, où m est la pente et c est l'ordonnée à l'origine. La pente m est (y2-y1)/(x2-x1) = (1-(-2))/(2-1) = 3. Donc, l'équation est y = 3x + c. En substituant le point A (1, -2) dans l'équation, nous obtenons -2 = 3*1 + c. Donc, c = -5. L'équation de la droite (AB) est donc y = 3x - 5.

5. La droite (D') qui passe par C et est parallèle à (D) a la même pente que (D), qui est -12. Donc, l'équation de (D') est y = -12x + c. En substituant le point C (3, 1) dans l'équation, nous obtenons 1 = -12*3 + c. Donc, c = 37. L'équation de la droite (D') est donc y = -12x + 37.

6. La médiatrice du segment [AB] est perpendiculaire à (AB) et passe par M. La pente de la médiatrice est l'opposé de l'inverse de la pente de (AB), donc -1/3. Donc, l'équation de la médiatrice est y = -1/3x + c. En substituant le point M (1.5, -0.5) dans l'équation, nous obtenons -0.5 = -1/3*1.5 + c. Donc, c = 0. L'équation de la médiatrice est donc y = -1/3x.

7. Pour tracer les droites (D) et la médiatrice dans le même repère, vous devez simplement dessiner les lignes correspondant à leurs équations.

8. Le point N est l'intersection de (D) et (AB). Pour trouver les coordonnées de N, vous devez résoudre le système d'équations formé par les équations de (D) et (AB). C'est-à-dire, résoudre le système y = -12x + 1 et y = 3x - 5. En résolvant ce système, nous obtenons x = 0.4 et y = -0.2. Donc, les coordonnées de N sont (0.4, -0.2).

D'accord, voici les réponses aux questions de l'exercice de mathématiques :

1. Pour placer les points A, B, C sur le plan, vous devez simplement localiser les coordonnées données. A(1, -2), B(2, 1), C(3, 1).

2. Les coordonnées du vecteur AB sont obtenues en soustrayant les coordonnées de A de celles de B. Donc, AB = (2-1, 1-(-2)) = (1, 3). La distance AB est obtenue en utilisant le théorème de Pythagore : √((1)^2 + (3)^2) = √10.

3. Les coordonnées du point M, le milieu du segment [AB], sont obtenues en faisant la moyenne des coordonnées de A et B. Donc, M = ((1+2)/2, (-2+1)/2) = (1.5, -0.5).

4. L'équation de la droite (AB) est y = mx + b, où m est la pente et b est l'ordonnée à l'origine. La pente m est (y2-y1)/(x2-x1) = (1-(-2))/(2-1) = 3. En substituant un point, par exemple B(2,1), dans l'équation, on obtient 1 = 3*2 + b. Donc, b = -5. L'équation de la droite (AB) est donc y = 3x - 5.

5. La droite (D') qui passe par C(3,1) et est parallèle à (D) a la même pente que (D), soit -12. En substituant le point C dans l'équation y = mx + b, on obtient 1 = -12*3 + b. Donc, b = 37. L'équation de la droite (D') est donc y = -12x + 37.

6. La médiatrice du segment [AB] est perpendiculaire à (AB) et passe par M(1.5, -0.5). La pente de (AB) est 3, donc la pente de la médiatrice est -1/3. En substituant le point M dans l'équation y = mx + b, on obtient -0.5 = -1/3*1.5 + b. Donc, b = -0.5 + 0.5 = 0. L'équation de la médiatrice est donc y = -1/3x.

7. Pour tracer les droites (D) et (D''), vous devez simplement dessiner les lignes correspondant à leurs équations dans le même repère.

8. Le point N est l'intersection de (D) et (AB). Pour trouver ses coordonnées, vous devez résoudre le système d'équations formé par les équations de (D) et (AB). C'est-à-dire, résoudre le système {y = -12x + 1, y = 3x - 5}. En égalant les deux expressions pour y, on obtient -12x + 1 = 3x - 5. En résolvant cette équation pour x, on obtient x = 1/2. En substituant x = 1/2 dans l'équation y = 3x - 5, on obtient y = -3. Donc, les coordonnées de N sont (1/2, -3).