Consider the following system of linear equations:x+2y−3z=2𝑥+2𝑦−3𝑧=22x−3y+4z=−72𝑥−3𝑦+4𝑧=−73x+y−2z=−23𝑥+𝑦−2𝑧=−2then, by using the guassian elimination method, the solution of the system is:

Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss paso a paso.

Primero, escribimos el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 2 & -3 & 4 & | & -7 \\ 3 & 1 & -2 & | & -2 \end{pmatrix}$

Paso 1: Hacer ceros debajo del primer pivote (1 en la primera fila, primera columna)

Restamos 2 veces la primera fila de la segunda fila:

$F2 \leftarrow F2 - 2F1$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & -7 & 10 & | & -11 \\ 3 & 1 & -2 & | & -2 \end{pmatrix}$

Restamos 3 veces la primera fila de la tercera fila:

$F3 \leftarrow F3 - 3F1$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & -7 & 10 & | & -11 \\ 0 & -5 & 7 & | & -8 \end{pmatrix}$

Paso 2: Hacer ceros debajo del segundo pivote (-7 en la segunda fila, segunda columna)

Primero, dividimos la segunda fila por -7 para hacer el pivote igual a 1:

$F2 \leftarrow \frac{F2}{-7}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{10}{7} & | & \frac{11}{7} \\ 0 & -5 & 7 & | & -8 \end{pmatrix}$

Sumamos 5 veces la segunda fila a la tercera fila para hacer cero el elemento en la tercera fila, segunda columna:

$F3 \leftarrow F3 + 5F2$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{10}{7} & | & \frac{11}{7} \\ 0 & 0 & \frac{9}{7} & | & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}$

Paso 3: Hacer ceros arriba del tercer pivote ($\frac{9}{7}$ en la tercera fila, tercera columna)

Primero, dividimos la tercera fila por $\frac{9}{7}$ para hacer el pivote igual a 1:

$F3 \leftarrow \frac{F3}{\frac{9}{7}}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{10}{7} & | & \frac{11}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$

Sumamos $\frac{10}{7}$ veces la tercera fila a la segunda fila para hacer cero el elemento en la segunda fila, tercera columna:

$F2 \leftarrow F2 + \frac{10}{7}F3$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$

Sumamos 3 veces la tercera fila a la primera fila para hacer cero el elemento en la primera fila, tercera columna:

$F1 \leftarrow F1 + 3F3$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & \frac{17}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$

Paso 4: Hacer ceros arriba del segundo pivote (1 en la segunda fila, segunda columna)

Restamos 2 veces la segunda fila de la primera fila para hacer cero el elemento en la primera fila, segunda columna:

$F1 \leftarrow F1 - 2F2$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{9} \end{pmatrix}$

Solución del sistema:

$x = \frac{11}{3}, \quad y = 1, \quad z = -\frac{1}{9}$

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

$x = \frac{11}{3}, \quad y = 1, \quad z = -\frac{1}{9}$