The sum of first three terms and the last three terms of an arithmetic progression having 49 terms is 30 and 444 respectively. Find the sum of all terms.a3781b3871c3187d3817

Dado que la progresión aritmética tiene 49 términos, podemos denotar los términos de la siguiente manera:

• Primer término: $a$
• Diferencia común: $d$

Los términos de la progresión aritmética se pueden expresar como:

• Primer término: $a$
• Segundo término: $a + d$
• Tercer término: $a + 2d$
• Último término (49º término): $a + 48d$
• Penúltimo término (48º término): $a + 47d$
• Antepenúltimo término (47º término): $a + 46d$

La suma de los primeros tres términos es: $a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 3(a + d)$

La suma de los últimos tres términos es: $(a + 46d) + (a + 47d) + (a + 48d) = 3a + 141d = 3(a + 47d)$

Según el problema, sabemos que: $3(a + d) = 30$ $3(a + 47d) = 444$

Dividimos ambas ecuaciones por 3: $a + d = 10$ $a + 47d = 148$

Restamos la primera ecuación de la segunda: $(a + 47d) - (a + d) = 148 - 10$ $46d = 138$ $d = 3$

Sustituimos $d = 3$ en la primera ecuación: $a + 3 = 10$ $a = 7$

Ahora, para encontrar la suma de todos los términos de la progresión aritmética, usamos la fórmula de la suma de una progresión aritmética: $S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right)$

Donde $n = 49$, $a = 7$, y $d = 3$: $S_{49} = \frac{49}{2} \left(2 \cdot 7 + (49-1) \cdot 3\right)$ $S_{49} = \frac{49}{2} \left(14 + 48 \cdot 3\right)$ $S_{49} = \frac{49}{2} \left(14 + 144\right)$ $S_{49} = \frac{49}{2} \cdot 158$ $S_{49} = 49 \cdot 79$ $S_{49} = 3871$

Por lo tanto, la suma de todos los términos es $\boxed{3871}$.