Find the remainder of 6^1000 when divided by 5.

Para encontrar el residuo de $6^{1000}$ al dividirlo por 5, podemos usar el pequeño teorema de Fermat. Este teorema dice que si $p$ es un número primo y $a$ es un entero que no es divisible por $p$, entonces $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

En este caso, $p = 5$ y $a = 6$. Primero, notamos que 6 es congruente con 1 módulo 5, es decir:

$6 \equiv 1 \pmod{5}$

Por lo tanto, podemos reescribir $6^{1000}$ como:

$6^{1000} \equiv 1^{1000} \pmod{5}$

Dado que cualquier número elevado a cualquier potencia sigue siendo el mismo número, tenemos:

$1^{1000} = 1$

Por lo tanto:

$6^{1000} \equiv 1 \pmod{5}$

El residuo de $6^{1000}$ al dividirlo por 5 es 1.