elect the correct answer.Which graph is the graph of the function 𝑟⁡(𝑥)=𝑥2+6⁢𝑥+82⁢𝑥+8 ?

To determine which graph corresponds to the function $r(x) = \frac{x^2 + 6x + 8}{2x + 8}$, we need to analyze the function step by step.

Step 1: Simplify the Function

First, let's simplify the function if possible.

$r(x) = \frac{x^2 + 6x + 8}{2x + 8}$

Factor the numerator:

$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$

So the function becomes:

$r(x) = \frac{(x + 2)(x + 4)}{2(x + 4)}$

Step 2: Cancel Common Factors

We can cancel the common factor $(x + 4)$ in the numerator and the denominator, but we must note that $x \neq -4$ because it would make the denominator zero.

$r(x) = \frac{x + 2}{2} \quad \text{for} \quad x \neq -4$

Step 3: Identify the Simplified Function

The simplified function is:

$r(x) = \frac{x + 2}{2}$

This is a linear function with a slope of $\frac{1}{2}$ and a y-intercept of 1.

Step 4: Consider the Domain

The function $r(x)$ is defined for all $x$ except $x = -4$. At $x = -4$, there is a vertical asymptote or a hole in the graph.

Step 5: Sketch the Graph

1. Linear Part: The graph of $r(x) = \frac{x + 2}{2}$ is a straight line with a slope of $\frac{1}{2}$ and a y-intercept of 1.
2. Discontinuity: There is a hole at $x = -4$.

Step 6: Match with Given Graphs

To match the function with the correct graph, look for a graph that:

• Is a straight line with a slope of $\frac{1}{2}$.
• Has a y-intercept at $y = 1$.
• Has a hole at $x = -4$.

Conclusion

The correct graph will be a straight line with the specified slope and y-intercept, and it will have a hole at $x = -4$.

Without the actual graphs to compare, this is the detailed process to identify the correct graph. If you have multiple-choice options, look for the graph that fits these criteria.

Para determinar cuál es el gráfico de la función $r(x) = \frac{x^2 + 6x + 8}{2x + 8}$, sigamos estos pasos:

1. Simplificación de la función: Primero, simplifiquemos la expresión si es posible.

   $r(x) = \frac{x^2 + 6x + 8}{2x + 8}$

   Factoricemos el numerador:

   $x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$

   Entonces, la función se convierte en:

   $r(x) = \frac{(x + 2)(x + 4)}{2(x + 4)}$

   Simplificamos cancelando el término común $(x + 4)$:

   $r(x) = \frac{x + 2}{2}$

   Así que la función simplificada es:

   $r(x) = \frac{x}{2} + 1$

2. Identificación del tipo de función: La función simplificada $r(x) = \frac{x}{2} + 1$ es una función lineal.

3. Características del gráfico:

   • La pendiente de la recta es $\frac{1}{2}$.
   • El intercepto en el eje $y$ es $1$.

4. Dibujar el gráfico:

   • La recta pasa por el punto $(0, 1)$ en el eje $y$.
   • Con una pendiente de $\frac{1}{2}$, por cada 2 unidades que avanzamos en $x$, subimos 1 unidad en $y$.

5. Considerar el dominio:

   • La función original tiene una restricción en $x = -4$ porque el denominador $2(x + 4)$ se hace cero, lo que significa que hay una asíntota vertical en $x = -4$.

6. Conclusión: El gráfico de la función $r(x) = \frac{x^2 + 6x + 8}{2x + 8}$ es una línea recta con una pendiente de $\frac{1}{2}$ y un intercepto en $y$ de $1$, excepto en $x = -4$ donde hay una asíntota vertical.

Para identificar el gráfico correcto, busca una línea recta con estas características y una discontinuidad en $x = -4$.