Find the value(s) of k if the quadratic equation3 3 4 02x k x− + = has real roots.

Para que la ecuación cuadrática $2x^2 - 3kx + 4 = 0$ tenga raíces reales, el discriminante debe ser mayor o igual a cero. El discriminante de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ está dado por $b^2 - 4ac$.

En este caso, $a = 2$, $b = -3k$, y $c = 4$. Entonces, el discriminante es:

$(-3k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4$

Simplificamos:

$9k^2 - 32$

Para que la ecuación tenga raíces reales, el discriminante debe ser mayor o igual a cero:

$9k^2 - 32 \geq 0$

Resolvemos esta desigualdad:

$9k^2 \geq 32$

Dividimos ambos lados por 9:

$k^2 \geq \frac{32}{9}$

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:

$|k| \geq \sqrt{\frac{32}{9}}$

Simplificamos la raíz cuadrada:

$|k| \geq \frac{\sqrt{32}}{3}$

Sabemos que $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$, entonces:

$|k| \geq \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Esto significa que $k$ debe ser mayor o igual a $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ o menor o igual a $-\frac{4\sqrt{2}}{3}$. Por lo tanto, los valores de $k$ que satisfacen la condición son:

$k \leq -\frac{4\sqrt{2}}{3} \quad \text{o} \quad k \geq \frac{4\sqrt{2}}{3}$