III. Equations différentielles y’ = a y + b1) Equations différentielles de la forme y’ = a yThéorème :Soit a un nombre réel.Les solutions de l’équation différentielle y’ = a y sont les fonctions f définies sur ℝpar f(x) = k eax, où k est une constante réelle.Remarque : Cette équation différentielle admet donc une infinité de solutions. A chaquevaleur de k correspond une solution particulière.Exemples :a) Résoudre l’équation différentielle : y’ = 2y……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….b) Résoudre l’équation différentielle : y’+ y = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………c) Déterminer la solution de l’équation différentielle 2 y’ + y = 0 vérifiant f(0) = -2………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2) Equations différentielles de la forme y’ = a y + bThéorème :Soit a et b deux nombres réels, a non nul.Les solutions de l’équation différentielle y’ = a y + b sont les fonctions f définies sur ℝpar f(x) = k eax - 𝑏𝑎 , où k est une constante réelle.Remarque : Cette équation différentielle admet donc une infinité de solutions. A chaquevaleur de k correspond une solution particulière.Que se passe t’il si k = 0 ? …………………………………………………………….Exemples :a) Résoudre l’équation différentielle : y’ = - y + 1……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….b) Résoudre l’équation différentielle : 2y’+ 3y = 6………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………c) Déterminer la solution de l’équation différentielle 3 y’ -2 y = 3 vérifiant f(0) = 2………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I. Equation différentielle1) DéfinitionUne équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.Cette année nous étudierons les équations différentielles du premier ordre, c’est-à-dire leséquations liant une fonction inconnue y et sa fonction dérivée y’.Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions qui vérifientl’équation.2) L’équation différentielle y’ = fDéfinition :Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ.On appelle primitive de f toute fonction solution de l’équation différentielle y’ = f.Une primitive d’une fonction f est notée FExemples :a) Trouver les solutions de l’équation différentielle y’ = 2x+4 et en déduire une primitive Fde la fonction f(x) = 2x+4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………b) Trouver une primitive de la fonction g(x) = ex + 3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.Propriété :Si f est une fonction continue sur I et si F est une primitive de f sur I, alors :• f admet une infinité de primitives sur I.• Toutes les primitives de f s’écrivent sous la forme F + k, où k est une constante réelle.On dit que deux primitives d’une même fonction différent d’une constante.Excemple : Donner toutes les primitives de la fonction f(x) = 2x…………………………………………………………………………………………..II. Primitives d’une fonction continueFonctions usuelles Opérations sur les fonctionsFonction f Primitive F Fonctions u et v Primitives U et Vk constante réelle u + vx k u, k réelxn , n entier non nul 2 u u’1𝑥²𝑢′𝑢²1√𝑥u’euex

On considère une fonction f vérifiant f(2)=3.Compléter les phrases à trous suivantes :1. a pour image par la fonction f.2. Le point A( ; ) est un point de la courbe représentative de la fonction f.3. Le nombre réel est une solution de l'équation f(x)=.4. Le nombre réel est un antécédent de par la fonction f.

Consider the differential equationdydx−(2x+3)y=(3x+2)e2x.dydx−(2x+3)y=(3x+2)e2x.  a) It is given that if both sides of the differential equation are multiplied by a function  ϕ(x)ϕ(x) ,  the differential equation will become ddx(ϕ(x)y)=ϕ(x)(3x+2)e2xddx(ϕ(x)y)=ϕ(x)(3x+2)e2x . Find  ϕ(x)ϕ(x)  and write your answer in the box below. ϕ(x)=ϕ(x)=          b) Setting the initial condition  y(1)=0y(1)=0 , what is the largest domain  II  for the solution  yy ? I=I=

Five Problems in understanding the concepts of order, degree and linearity of ODE

Differential Equations