On considère un gaz parfait classique de N >> 1 particules et de volume V. Le gaz est isolé avec une énergie totale égale à E. On utilise la description microcanonique. 1. Sachant que le nombre d'états sur la surface de la sphère est : Ω(E) = A A une constante, calculer l'entropie microcanonique. 3NVN 2h3N (2m) 3N/2E3N/2, avec 2. Calculer la température T. En déduire que E = 3N KBT/2. 3. Calculer la pression P. En déduire l'équation du gaz parfait classique PV = NkBT.
Question
On considère un gaz parfait classique de N >> 1 particules et de volume V. Le gaz est isolé avec une énergie totale égale à E. On utilise la description microcanonique.
- Sachant que le nombre d'états sur la surface de la sphère est : Ω(E) = A A une constante, calculer l'entropie microcanonique. 3NVN 2h3N (2m) 3N/2E3N/2, avec
- Calculer la température T. En déduire que E = 3N KBT/2.
- Calculer la pression P. En déduire l'équation du gaz parfait classique PV = NkBT.
Solution
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L'entropie microcanonique est donnée par la formule de Boltzmann, S = k_B * ln(Ω), où k_B est la constante de Boltzmann et Ω est le nombre d'états accessibles. Ici, Ω(E) est donné, donc on peut substituer dans la formule pour obtenir S = k_B * ln(A * (V/h^3)^N * (2m)^{3N/2} * E^{3N/2}).
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La température est définie par 1/T = dS/dE. En dérivant l'expression pour S par rapport à E, on obtient 1/T = (3N/2E) * k_B. En réarrangeant, on obtient E = 3Nk_BT/2.
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La pression est définie par P = -dE/dV à S et N constants. En utilisant l'expression pour E obtenue à l'étape précédente, on obtient P = Nk_BT/V. En réarrangeant, on obtient l'équation du gaz parfait classique, PV = Nk_BT.
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