4. Find the solution to each of these recurrence relations and initial conditions.a) an = −an−1, a0 = 5 b) an = an−1 + 3, a0 = 1 c) an = an−1 − n, a0 = 4d ) an = 2nan−1, a0 = 3 e) an = 5an−1 − 6an−2, a0 = 2, a1 = −1

a) $a_n = -a_{n-1}, a_0 = 5$

Para encontrar la solución, observamos el patrón de los primeros términos:

• $a_0 = 5$
• $a_1 = -a_0 = -5$
• $a_2 = -a_1 = 5$
• $a_3 = -a_2 = -5$

Podemos ver que los términos alternan entre 5 y -5. Por lo tanto, la solución es: $a_n = 5(-1)^n$

b) $a_n = a_{n-1} + 3, a_0 = 1$

Para encontrar la solución, observamos el patrón de los primeros términos:

• $a_0 = 1$
• $a_1 = a_0 + 3 = 4$
• $a_2 = a_1 + 3 = 7$
• $a_3 = a_2 + 3 = 10$

Podemos ver que los términos forman una progresión aritmética con diferencia común 3. La fórmula general es: $a_n = a_0 + 3n = 1 + 3n$

c) $a_n = a_{n-1} - n, a_0 = 4$

Para encontrar la solución, observamos el patrón de los primeros términos:

• $a_0 = 4$
• $a_1 = a_0 - 1 = 3$
• $a_2 = a_1 - 2 = 1$
• $a_3 = a_2 - 3 = -2$

Podemos ver que los términos forman una secuencia decreciente. La fórmula general es: $a_n = a_0 - \frac{n(n+1)}{2} = 4 - \frac{n(n+1)}{2}$

d) $a_n = 2n a_{n-1}, a_0 = 3$

Para encontrar la solución, observamos el patrón de los primeros términos:

• $a_0 = 3$
• $a_1 = 2 \cdot 1 \cdot a_0 = 6$
• $a_2 = 2 \cdot 2 \cdot a_1 = 24$
• $a_3 = 2 \cdot 3 \cdot a_2 = 144$

Podemos ver que los términos forman una secuencia factorial multiplicada por 3. La fórmula general es: [ a_n = 3 \cdot (2^n \cdot n!) \