Let the universe of discourse of x and y be the set of integers.Given:(1) ThereExists x ThereExists y [ (x + y = 4) AND (x - y = 1) ].(2) ThereExists x ThereExists y [ x^2 + y^2 = 26 ].Select one of the following choices:Question 11Answera.(1) is False and (2) is True.b.(1) is True and (2) is False.c.(1) and (2) are True.d.(1) and (2) are False.

Para resolver el problema, analizaremos cada una de las afirmaciones por separado.

(1) ThereExists x ThereExists y [ (x + y = 4) AND (x - y = 1) ].

Primero, resolvemos el sistema de ecuaciones: $x + y = 4$ $x - y = 1$

Sumamos ambas ecuaciones: $(x + y) + (x - y) = 4 + 1$ $2x = 5$ $x = \frac{5}{2}$

Restamos la segunda ecuación de la primera: $(x + y) - (x - y) = 4 - 1$ $2y = 3$ $y = \frac{3}{2}$

Dado que x y y deben ser enteros, no hay valores enteros que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Por lo tanto, la afirmación (1) es falsa.

(2) ThereExists x ThereExists y [ x^2 + y^2 = 26 ].

Buscamos enteros x y y que satisfagan la ecuación: $x^2 + y^2 = 26$

Probamos algunos valores:

• Si x = 5, entonces $y^2 = 26 - 25 = 1$ y $y = \pm 1$.
• Si x = -5, entonces $y^2 = 26 - 25 = 1$ y $y = \pm 1$.
• Si x = 3, entonces $y^2 = 26 - 9 = 17$, pero 17 no es un cuadrado perfecto.
• Si x = -3, entonces $y^2 = 26 - 9 = 17$, pero 17 no es un cuadrado perfecto.
• Si x = 1, entonces $y^2 = 26 - 1 = 25$ y $y = \pm 5$.
• Si x = -1, entonces $y^2 = 26 - 1 = 25$ y $y = \pm 5$.

Hemos encontrado que para $x = 5$ y $y = \pm 1$, o $x = 1$ y $y = \pm 5$, la ecuación se satisface. Por lo tanto, la afirmación (2) es verdadera.

Conclusión: La opción correcta es: a. (1) is False and (2) is True.