How much more is a perpetuity of $1,000 worth than an annuity of the same amount for 20 years? Assume an interest rate of 10% and cash flows at the end of each period

Para resolver esta pregunta, primero necesitamos calcular el valor presente de la perpetuidad y el valor presente de la anualidad. Luego, restaremos el valor presente de la anualidad del valor presente de la perpetuidad para encontrar la diferencia.

1. Valor presente de la perpetuidad: Una perpetuidad es una serie de pagos iguales que continúan indefinidamente. La fórmula para calcular el valor presente de una perpetuidad es:

   $PV_{\text{perpetuidad}} = \frac{C}{r}$

   Donde:

   • $C$ es el pago anual ($1,000)
   • $r$ es la tasa de interés (10% o 0.10)

   Sustituyendo los valores:

   $PV_{\text{perpetuidad}} = \frac{1,000}{0.10} = 10,000$

2. Valor presente de la anualidad: Una anualidad es una serie de pagos iguales durante un número finito de periodos. La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad es:

   $PV_{\text{anualidad}} = C \times \left(1 - \left(1 + r\right)^{-n}\right) / r$

   Donde:

   • $C$ es el pago anual ($1,000)
   • $r$ es la tasa de interés (10% o 0.10)
   • $n$ es el número de periodos (20 años)

   Sustituyendo los valores:

   $PV_{\text{anualidad}} = 1,000 \times \left(1 - \left(1 + 0.10\right)^{-20}\right) / 0.10$

   Primero, calculamos $\left(1 + 0.10\right)^{-20}$:

   $\left(1 + 0.10\right)^{-20} = 1.10^{-20} \approx 0.14864$

   Luego, calculamos $1 - 0.14864$:

   $1 - 0.14864 = 0.85136$

   Finalmente, calculamos el valor presente de la anualidad:

   $PV_{\text{anualidad}} = 1,000 \times \frac{0.85136}{0.10} = 1,000 \times 8.5136 = 8,513.60$

3. Diferencia entre la perpetuidad y la anualidad: Ahora restamos el valor presente de la anualidad del valor presente de la perpetuidad:

   $\text{Diferencia} = PV_{\text{perpetuidad}} - PV_{\text{anualidad}} = 10,000 - 8,513.60 = 1,486.40$

Por lo tanto, una perpetuidad de $1,000 vale$1,486.40 más que una anualidad de $1,000 durante 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10%.