Aman and Babli run around a circular track of length L metres. Aman and Babli run at constant, but different speeds. They start from diametrically opposite points such that Aman runs clockwise around the track and Babli runs counterclockwise. They meet for the first time after Aman has run 100 metres and for the second time after Babli runs 150 metres past their first meeting point. What is the value of L?

Vamos a resolver el problema paso a paso.

1. Definición de variables:

   • Sea $L$ la longitud de la pista en metros.
   • Sea $v_A$ la velocidad de Aman en metros por segundo.
   • Sea $v_B$ la velocidad de Babli en metros por segundo.

2. Primer encuentro:

   • Aman ha corrido 100 metros cuando se encuentran por primera vez.
   • Como empezaron desde puntos diametralmente opuestos, la distancia total que han corrido juntos es $L/2$.
   • La suma de las distancias recorridas por Aman y Babli hasta el primer encuentro es $L/2$.

   Entonces, podemos escribir: $100 + d_B = \frac{L}{2}$ donde $d_B$ es la distancia que ha corrido Babli hasta el primer encuentro.

3. Segundo encuentro:

   • Babli corre 150 metros más después del primer encuentro.
   • La distancia total recorrida por Babli desde el inicio hasta el segundo encuentro es $d_B + 150$.
   • La distancia total recorrida por Aman desde el inicio hasta el segundo encuentro es $100 + d_A$, donde $d_A$ es la distancia adicional que ha corrido Aman después del primer encuentro.

   Como se encuentran por segunda vez, la suma de las distancias recorridas por ambos debe ser un múltiplo de $L$: $100 + d_A + d_B + 150 = L$

4. Relación de velocidades:

   • La relación de velocidades se puede deducir de los tiempos de encuentro.
   • El tiempo que Aman tarda en correr 100 metros es el mismo tiempo que Babli tarda en correr $d_B$ metros.
   • Entonces, $\frac{100}{v_A} = \frac{d_B}{v_B}$.

5. Resolviendo las ecuaciones:

   • De la primera ecuación: $d_B = \frac{L}{2} - 100$
   • Sustituyendo $d_B$ en la segunda ecuación: $100 + d_A + \left(\frac{L}{2} - 100\right) + 150 = L$ Simplificando: $100 + d_A + \frac{L}{2} + 50 = L$ $150 + d_A + \frac{L}{2} = L$ $d_A = L - 150 - \frac{L}{2}$ $d_A = \frac{L}{2} - 150$

6. Verificación de la distancia total:

   • La distancia total recorrida por Aman y Babli hasta el segundo encuentro debe ser un múltiplo de $L$: $100 + \left(\frac{L}{2} - 150\right) + \left(\frac{L}{2} - 100\right) + 150 = L$ Simplificando: $100 + \frac{L}{2} - 150 + \frac{L}{2} - 100 + 150 = L$ $\frac{L}{2} + \frac{L}{2} = L$ $L = L$

Esto confirma que las ecuaciones son consistentes. Por lo tanto, la longitud de la pista $L$ es 500 metros.