Una sustancia radiactiva se descompone según la siguiente función, donde y0 es la cantidad inicial presente y y es la cantidad presente al tiempo t (en días).=yy0e−0.019tCalcular la vida media de esta sustancia. No redondear los cálculos intermedios. Redondear la respuesta a la décima más cercana.
Question
Una sustancia radiactiva se descompone según la siguiente función, donde y0 es la cantidad inicial presente y y es la cantidad presente al tiempo t (en días).=yy0e−0.019tCalcular la vida media de esta sustancia. No redondear los cálculos intermedios. Redondear la respuesta a la décima más cercana.
Solution
La vida media de una sustancia radiactiva se define como el tiempo necesario para que la cantidad de sustancia se reduzca a la mitad. En otras palabras, es el tiempo en el que y = y0/2.
La ecuación dada es y = y0 * e^(-0.019t). Para encontrar la vida media, necesitamos resolver la ecuación para t cuando y = y0/2.
Entonces, y0/2 = y0 * e^(-0.019t).
Podemos cancelar y0 de ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con 1/2 = e^(-0.019t).
Para resolver para t, primero tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación:
ln(1/2) = ln(e^(-0.019t)).
Esto simplifica a ln(1/2) = -0.019t.
Finalmente, resolvemos para t dividiendo ambos lados de la ecuación por -0.019:
t = ln(1/2) / -0.019.
Usando una calculadora, encontramos que t ≈ 36.5 días.
Por lo tanto, la vida media de esta sustancia es de aproximadamente 36.5 días.
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