Find the particular solution of this differential equation with initial conditions y(0)=1: y' = y/(3x-y^2)

Para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial dada con las condiciones iniciales, seguimos estos pasos:

1. Ecuación diferencial dada: $y' = \frac{y}{3x - y^2}$

2. Condición inicial: $y(0) = 1$

3. Separación de variables: Reescribimos la ecuación diferencial para separar las variables $x$ y $y$: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3x - y^2}$ Multiplicamos ambos lados por $3x - y^2$ y por $dx$: $(3x - y^2) \, dy = y \, dx$

4. Reorganización: Reorganizamos los términos para separar las variables: $(3x - y^2) \, dy = y \, dx$ $3x \, dy - y^2 \, dy = y \, dx$ $3x \, dy - y^2 \, dy = y \, dx$ Dividimos ambos lados por $y$: $3x \, \frac{dy}{y} - y \, dy = dx$

5. Integración: Integramos ambos lados de la ecuación: $\int 3x \, \frac{dy}{y} - \int y \, dy = \int dx$ $3x \ln|y| - \frac{y^2}{2} = x + C$

6. Aplicación de la condición inicial: Usamos la condición inicial $y(0) = 1$ para encontrar la constante $C$: $3(0) \ln|1| - \frac{1^2}{2} = 0 + C$ $0 - \frac{1}{2} = C$ $C = -\frac{1}{2}$

7. Solución particular: Sustituimos $C$ en la ecuación general: $3x \ln|y| - \frac{y^2}{2} = x - \frac{1}{2}$

Esta es la solución particular de la ecuación diferencial dada con la condición inicial $y(0) = 1$.